Schriftlich dividieren mit Rest und Komma: Schritt für Schritt
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Beim schriftlichen Dividieren teilen Sie von links nach rechts: teilen, malnehmen, abziehen, nächste Ziffer herunterholen. Bleibt am Ende etwas übrig, ist das der Rest, etwa bei 1.234 : 7 = 176 Rest 2. Wollen Sie mit Komma weiterrechnen, setzen Sie im Ergebnis ein Komma, hängen eine 0 an den Rest und teilen weiter.
Ergebnis
176 Rest 2
Rest
2
Dezimalwert
≈ 176,285714
So wird schriftlich geteilt
1234 : 7 = 176 Rest 2
−7
──
53
−49
───
44
−42
───
2Rechenweg
- Erste Teilzahl: 12 (die Ziffern davor ergeben eine Zahl kleiner als 7). 12 : 7 = 1, denn 1 · 7 = 7. Rest: 12 − 7 = 5. Die 3 herunterholen: 53.
- 53 : 7 = 7, denn 7 · 7 = 49. Rest: 53 − 49 = 4. Die 4 herunterholen: 44.
- 44 : 7 = 6, denn 6 · 7 = 42. Rest: 44 − 42 = 2.
- Ergebnis: 176 Rest 2. Probe: 176 · 7 + 2 = 1234.
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Formel
Der Dividend ist gleich Ergebnis mal Divisor plus Rest. Der Rest ist dabei immer kleiner als der Divisor und nie negativ. Rechnen Sie mit Komma weiter, wird der Rest in Zehntel, Hundertstel und so weiter zerlegt, bis er 0 wird oder sich ein Rest wiederholt.
a : b = q Rest r, mit a = q · b + r und 0 ≤ r < b
- a
- Dividend, die Zahl, die geteilt wird
- b
- Divisor, die Zahl, durch die geteilt wird
- q
- Ergebnis der Division (Quotient)
- r
- Rest, der nicht mehr gleichmäßig verteilt werden kann
Rechenbeispiel: 1.234 : 7 schriftlich mit Rest
- 1
Erste Teilzahl suchen: Die 1 ist kleiner als 7, also 12 : 7 = 1, denn 1 · 7 = 7. Rest 5, die 3 herunterholen ergibt 53.
- 2
53 : 7 = 7, denn 7 · 7 = 49. Rest 4, die 4 herunterholen ergibt 44.
- 3
44 : 7 = 6, denn 6 · 7 = 42. Es bleibt ein Rest, keine Ziffer ist mehr übrig.
= 176 Rest 2
- 4
Probe: Ergebnis mal Divisor plus Rest, also 176 · 7 + 2
= 1.234
- 5
Mit Komma weitergerechnet: an den Rest eine 0 anhängen und weiter durch 7 teilen
= 176,285714
1.234 : 7 ergibt 176 Rest 2. Mit Komma weitergerechnet wiederholt sich der Ziffernblock 285714 endlos, das Ergebnis ist also periodisch: 176,(285714).
Typische Fehler
errorDie 0 im Ergebnis vergessen
Passt der Divisor nach dem Herunterholen nicht in die Teilzahl, gehört eine 0 ins Ergebnis. Bei 3.672 : 12 lautet das Ergebnis deshalb 306 und nicht 36. Jede heruntergeholte Ziffer erzeugt genau eine Ergebnisziffer.
errorDen Rest größer als den Divisor stehen lassen
Bleibt nach dem Abziehen ein Rest, der gleich groß oder größer als der Divisor ist, war die Ergebnisziffer zu klein. Erhöhen Sie sie um eins und rechnen Sie den Schritt neu, bevor Sie die nächste Ziffer herunterholen.
errorDas Komma im Ergebnis zu spät oder zu früh gesetzt
Das Komma kommt ins Ergebnis, sobald Sie die erste Ziffer nach dem Komma des Dividenden herunterholen oder die erste angehängte 0 verwenden. Markieren Sie die Kommastelle im Dividenden mit einem Strich, dann vergessen Sie diesen Moment nicht.
Rest oder Komma: welche Form die Aufgabe verlangt
Ob ein Ergebnis mit Rest oder mit Komma gefragt ist, hängt von der Klassenstufe und vom Sachverhalt ab. In Klasse 4 steht fast immer „mit Rest“ in der Aufgabe, weil Dezimalzahlen noch nicht eingeführt sind. Ein Rest ist dort auch inhaltlich sinnvoll: Werden 1.234 Murmeln auf 7 Kinder verteilt, bekommt jedes 176 Stück, und 2 Murmeln bleiben übrig. Eine Murmel lässt sich nicht in Teile brechen.
Bei Geldbeträgen, Längen oder Gewichten ist dagegen das Komma gefragt, denn diese Größen lassen sich teilen. Wer 12,75 Euro auf 5 Personen aufteilt, will 2,55 Euro je Person wissen und keinen Rest. Für Eltern lohnt deshalb ein kurzer Blick auf die Aufgabenstellung, bevor sie das Ergebnis ihres Kindes korrigieren: Ein „Rest 2“ ist kein Fehler, nur weil der Taschenrechner eine Kommazahl zeigt.
Manche Sachaufgaben verlangen sogar eine dritte Form: Das Ergebnis wird je nach Situation auf- oder abgerundet. Passen in einen Bus 50 Kinder und fahren 1.234 Kinder mit, reicht eine Division mit Rest nicht als Antwort, denn auch für die übrig gebliebenen Kinder braucht es einen weiteren Bus. Hier wird aufgerundet. Bei der Frage, wie viele volle Packungen sich aus einem Vorrat packen lassen, wird dagegen abgerundet und der Rest einfach weggelassen.
Warum manche Divisionen nie aufgehen
Beim Weiterrechnen mit Komma kann der Rest nur Werte annehmen, die kleiner als der Divisor sind. Bei der Division durch 7 gibt es also höchstens sechs verschiedene Reste ungleich 0. Spätestens nach sechs Schritten muss ein Rest zum zweiten Mal auftauchen, und ab dann wiederholt sich die Rechnung exakt. Deshalb ist die Periode bei der Division durch 7 höchstens sechs Ziffern lang, bei 1.234 : 7 ist es der Block 285714.
Ob eine Division aufgeht, entscheidet der Divisor: Enthält er nach dem Kürzen nur die Primfaktoren 2 und 5, endet die Dezimalzahl, wie bei 7 : 8 = 0,875. Steckt ein anderer Primfaktor darin, etwa 3 oder 7, entsteht eine Periode. Den Zusammenhang zwischen Bruch und Dezimalzahl zeigt der Bruch-Dezimal-Umrechner, die Probe gelingt mit dem schriftlichen Multiplizieren.