Standardabweichung berechnen: Varianz, Sigma und Variationskoeffizient mit Rechenweg

Die Standardabweichung misst, wie weit Werte im Schnitt vom Mittelwert entfernt liegen

Zwei Messreihen können denselben Mittelwert haben und trotzdem völlig verschieden aussehen. Die eine liegt eng beieinander, die andere reicht von sehr klein bis sehr groß. Die Standardabweichung fasst diesen Unterschied in einer einzigen Zahl zusammen. Sie hat dieselbe Einheit wie die Messwerte, was sie anschaulicher macht als die Varianz, aus der sie berechnet wird.

Standardabweichung berechnen am Beispiel mit sechs Werten

Nehmen Sie die Werte 4, 8, 6, 5, 3 und 10. Die Rechnung läuft in fünf Schritten:

1. Anzahl bestimmen: n = 6.
2. Mittelwert bilden: (4 + 8 + 6 + 5 + 3 + 10) / 6 = 36 / 6 = 6. Den Mittelwert allein liefert auch der Durchschnittsrechner.
3. Von jedem Wert den Mittelwert abziehen und das Ergebnis quadrieren.
4. Die Quadrate addieren: Σ(x − x̄)² = 34.
5. Durch n oder n − 1 teilen und die Wurzel ziehen.

Die mittlere Spalte summiert sich immer zu null. Das ist keine Besonderheit dieses Beispiels, sondern gilt für jede Reihe und ist eine gute Kontrolle, ob der Mittelwert stimmt.

Berechnung der Varianz: Stichprobe mit n − 1 oder Grundgesamtheit mit n

Aus der Quadratsumme 34 entstehen zwei verschiedene Varianzen, je nachdem, wie Ihre Daten zustande gekommen sind.

Die Grundgesamtheit nutzen Sie, wenn die Werte alle Fälle vollständig abdecken, etwa die Noten aller sechs Schüler einer Arbeitsgruppe. Die Stichprobe ist richtig, wenn die Werte nur eine Auswahl sind, aus der Sie auf etwas Größeres schließen wollen, etwa sechs Messungen aus einer laufenden Produktion. Der Nenner n − 1 heißt Bessel-Korrektur. Er macht die Varianz etwas größer, weil der Mittelwert aus denselben Daten geschätzt wurde und die Werte deshalb näher an ihm liegen als am unbekannten wahren Mittel. Bei großem n verschwindet der Unterschied fast, bei sechs Werten ist die Stichproben-Standardabweichung knapp zehn Prozent größer.

Varianz berechnen: die Formel in Worten

Wer die Formel ohne Symbole sucht: Die Varianz ist der Durchschnitt der quadrierten Abstände zum Mittelwert. Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Als Formel geschrieben heißt das σ² = Σ(x − x̄)² / n und σ = √σ². Für die Stichprobe ersetzen Sie n durch n − 1 und schreiben s statt σ.

Die Varianz hat die quadrierte Einheit der Messwerte. Messen Sie Längen in Zentimetern, ist die Varianz in Quadratzentimetern angegeben, was sich kaum deuten lässt. Deshalb wird im Alltag fast immer die Standardabweichung berichtet.

Variationskoeffizient berechnen und Streuungen vergleichen

Der Variationskoeffizient setzt die Standardabweichung ins Verhältnis zum Mittelwert. Er beantwortet die Frage, wie groß die Streuung relativ zum Niveau der Werte ist. Das zeigt ein Vergleich zweier Reihen mit gleichem Mittelwert 50:

• Reihe A: 48, 52, 50, 49, 51 ergibt σ = 1,4142 und einen Variationskoeffizienten von 2,83 %.
• Reihe B: 30, 70, 45, 55, 20, 80 ergibt σ = 21,0159 und einen Variationskoeffizienten von 42,03 %.

Umgekehrt ändert sich der Variationskoeffizient nicht, wenn Sie alle Werte mit demselben Faktor multiplizieren. Die Reihe 400, 800, 600, 500, 300, 1000 hat mit σ = 238,0476 eine hundertmal größere Standardabweichung als das Ausgangsbeispiel, aber denselben Variationskoeffizienten von 39,67 %. Genau darum eignet er sich für Vergleiche zwischen Euro und Cent, Gramm und Kilogramm.

Die 68-95-99,7-Regel als Faustregel für normalverteilte Werte

Sind Daten annähernd normalverteilt, liegen rund 68 % der Werte innerhalb von einer Standardabweichung um den Mittelwert, rund 95 % innerhalb von zwei und rund 99,7 % innerhalb von drei. Für das Beispiel mit Mittelwert 6 und σ = 2,3805 bedeutet das:

• Eine Standardabweichung: 3,6195 bis 8,3805
• Zwei Standardabweichungen: 1,2390 bis 10,7610
• Drei Standardabweichungen: -1,1415 bis 13,1415

Wichtig ist der Hinweis: Die Regel ist eine Näherung für glockenförmige Verteilungen. Bei sechs Werten lässt sich die Form der Verteilung gar nicht beurteilen, und bei schiefen Daten wie Einkommen oder Wartezeiten stimmt sie nicht.

Sigma berechnen mit Taschenrechner und Tabellenkalkulation

Viele Schultaschenrechner haben einen Statistikmodus, in dem Sie die Werte nacheinander eingeben und danach zwei Standardabweichungen abrufen. Die Taste mit dem Index n liefert σ, also die Grundgesamtheit, die Taste mit n − 1 oder dem kleinen s liefert die Stichprobe. Für das Beispiel müssen dort 2,3805 und 2,6077 erscheinen.

In deutschen Tabellenprogrammen heißen die Funktionen STABW.N für die Grundgesamtheit und STABW.S für die Stichprobe, entsprechend VAR.P und VAR.S für die Varianz. Die ältere Funktion STABW ohne Zusatz rechnet mit n − 1. Wer eine Spalte mit 100 Messwerten auswertet, bekommt so schnell ein Ergebnis, sieht aber keinen Rechenweg. Genau den liefert der Rechner auf dieser Seite, damit Sie Ihre Hausaufgabe oder Laborauswertung Zeile für Zeile nachvollziehen können.

Plausibilitätsprüfung: passt die Standardabweichung zur Spannweite?

Eine schnelle Kontrolle im Kopf: Die Standardabweichung ist immer kleiner als die Spannweite, und bei mittelgroßen Reihen liegt sie meist bei einem Viertel bis einem Sechstel davon. Im Beispiel ist die Spannweite 7 und σ = 2,3805, das passt. Kommt eine Standardabweichung größer als die Spannweite heraus, ist mit Sicherheit etwas schiefgelaufen.

Weitere Prüfpunkte: Sind alle Werte gleich, muss 0 herauskommen. Die Stichproben-Standardabweichung ist immer etwas größer als die der Grundgesamtheit. Und die Abweichungen vom Mittelwert müssen sich zu null summieren.

Typische Fehler bei der Berechnung von Standardabweichung und Varianz

• Die Wurzel wird vergessen, und die Varianz wird als Standardabweichung angegeben.
• Stichprobe und Grundgesamtheit werden verwechselt. Tabellenprogramme bieten dafür getrennte Funktionen an, und die Standardfunktion ist meist die Stichprobe.
• Die Abweichungen werden nicht quadriert, sondern als Beträge addiert. Das ergibt die mittlere absolute Abweichung, eine andere Kennzahl.
• Der Mittelwert wird vorab gerundet, wodurch jede Abweichung leicht falsch wird.
• Ausreißer bleiben unbemerkt. Weil die Abweichungen quadriert werden, treibt ein einziger extremer Wert die Standardabweichung stark nach oben. Wer eine robuste Alternative sucht, schaut sich Median und Interquartilsabstand im Median-Rechner an.

Zum Üben eignen sich Zahlenreihen aus dem Zufallszahlen-Generator, die Sie hier einfügen und mit Ihrer eigenen Rechnung vergleichen.