Wie berechnet man die Standardabweichung Schritt für Schritt?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Für die Standardabweichung bilden Sie zuerst den Mittelwert, ziehen ihn von jedem Wert ab und quadrieren diese Abweichungen. Die Summe der Quadrate teilen Sie durch die Anzahl der Werte, bei einer Stichprobe durch die Anzahl minus eins. Das ergibt die Varianz, und deren Wurzel ist die Standardabweichung.
Trennen Sie die Werte mit Komma, Semikolon, Leerzeichen oder Zeilenumbruch. Dezimalkommas wie 2,5 werden erkannt, wenn danach kein Leerzeichen folgt.
Standardabweichung σ (Grundgesamtheit)
2
Standardabweichung s (Stichprobe)
2,1381
Varianz σ²
4
Varianz s²
4,5714
Variationskoeffizient
40 %
Anzahl n
8
Mittelwert x̄
5
Spannweite
7
2 bis 9
Abweichungstabelle
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 2 | -3 | 9 |
| 4 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Σ | 0 | 32 |
Rechenweg
- Anzahl der Werte: n = 8
- Mittelwert: x̄ = (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5
- Abweichungen vom Mittelwert quadrieren und summieren: Σ(x − x̄)² = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
- Varianz der Grundgesamtheit: σ² = Σ(x − x̄)² / n = 32 / 8 = 4
- Standardabweichung der Grundgesamtheit: σ = √4 = 2
- Varianz der Stichprobe (n − 1 im Nenner, Bessel-Korrektur): s² = 32 / 7 = 4,5714
- Standardabweichung der Stichprobe: s = √4,5714 = 2,1381
- Variationskoeffizient: σ / x̄ = 2 / 5 = 40 %
- Spannweite: max − min = 9 − 2 = 7
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Formel
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der mittleren quadrierten Abweichung vom Mittelwert. Für eine vollständige Grundgesamtheit teilen Sie durch n, für eine Stichprobe durch n minus 1.
σ = √( Σ(x − x̄)² / n ); s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
- x
- einzelner Messwert
- x̄
- arithmetischer Mittelwert aller Werte
- n
- Anzahl der Werte
- σ, s
- Standardabweichung der Grundgesamtheit und der Stichprobe
Rechenbeispiel: die Werte 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 und 9
- 1
Werte zählen und addieren
= n = 8, Summe 40
- 2
Mittelwert bilden: 40 geteilt durch 8
= 5
- 3
Abweichungen vom Mittelwert quadrieren und addieren: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16
= 32
- 4
Varianz der Grundgesamtheit: 32 geteilt durch 8
= 4
- 5
Standardabweichung der Grundgesamtheit als Wurzel der Varianz
= 2
- 6
Zum Vergleich als Stichprobe: 32 geteilt durch 7 ergibt die Varianz, daraus die Wurzel
= 4,5714 und 2,1381
Die acht Werte streuen mit einer Standardabweichung von 2 um den Mittelwert 5. Werden sie als Stichprobe aus einer größeren Menge betrachtet, fällt die Standardabweichung mit 2,1381 etwas größer aus.
Typische Fehler
errorDie Wurzel am Ende vergessen
Die Summe der Abweichungsquadrate geteilt durch n ist erst die Varianz. Sie hat die quadrierte Einheit, etwa Quadratzentimeter statt Zentimeter. Erst die Wurzel bringt die Streuung zurück in die Einheit der Messwerte und macht sie mit dem Mittelwert vergleichbar.
errorMit gerundetem Mittelwert weitergerechnet
Runden Sie den Mittelwert nicht vor der Berechnung der Abweichungen. Schon eine Rundung in der zweiten Nachkommastelle kann die Summe der Quadrate spürbar verfälschen, vor allem bei vielen Werten. Rechnen Sie mit dem vollen Wert und runden Sie nur das Endergebnis.
Was eine Standardabweichung konkret aussagt
Der Mittelwert allein verrät wenig über eine Datenreihe. Die Reihen 5, 5, 5, 5 und 1, 3, 7, 9 haben beide den Mittelwert 5, sehen aber völlig verschieden aus. Die Standardabweichung macht diesen Unterschied messbar. Sie gibt an, wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert entfernt liegen. Bei der ersten Reihe ist sie null, bei der zweiten liegt sie bei rund 3,16.
Anschaulich hilft die Vorstellung eines Bandes um den Mittelwert. Im Beispiel reicht es von 3 bis 7, also Mittelwert minus und plus eine Standardabweichung. Sechs der acht Werte liegen darin, nur die 2 und die 9 fallen heraus. Bei annähernd normalverteilten Daten erwartet man in diesem Band ungefähr zwei Drittel aller Werte. Liegt ein Wert mehr als zwei oder drei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt, ist er auffällig und verdient einen zweiten Blick, etwa als möglicher Messfehler. Für den Vergleich von Reihen mit sehr unterschiedlichen Mittelwerten eignet sich der Variationskoeffizient besser, also die Standardabweichung geteilt durch den Mittelwert.
Stichprobe oder Grundgesamtheit: welche Formel passt
Der Unterschied zwischen dem Teilen durch n und durch n minus 1 wirkt auf den ersten Blick spitzfindig. Er hat aber einen Grund. Wer nur eine Stichprobe kennt, berechnet den Mittelwert aus genau diesen Werten. Die Abweichungen der Stichprobe von ihrem eigenen Mittelwert fallen dadurch im Schnitt etwas kleiner aus als die Abweichungen vom unbekannten wahren Mittelwert. Das Teilen durch n minus 1 gleicht diese Unterschätzung aus.
In der Praxis spielt die Wahl vor allem bei wenigen Werten eine Rolle. Bei acht Werten beträgt der Unterschied im Beispiel knapp sieben Prozent, bei hundert Werten nur noch ein halbes Prozent. Tabellenkalkulationen bieten deshalb zwei Funktionen an. Die eine rechnet mit n, die andere mit n minus 1. Prüfen Sie vor dem Einsatz, welche Variante gemeint ist, sonst lassen sich Ergebnisse aus verschiedenen Quellen nicht vergleichen.