Steigung berechnen — Prozent, Grad und Verhältnis umrechnen
Die Steigung in Grad berechnen Sie mit dem Arkustangens der Prozentsteigung geteilt durch 100: α = arctan(p/100). Umgekehrt ergibt sich die Prozentsteigung aus dem Tangens des Winkels mal 100: p = tan(α) · 100. Eine Steigung von 100 % entspricht genau 45°.
Steigung
100 %
Winkel
45°
Verhältnis
1:1
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Formel
Der Steigungswinkel ist der Arkustangens der Prozentsteigung geteilt durch 100. Die Prozentsteigung wiederum ist der Höhenunterschied geteilt durch die horizontale Länge, mal 100.
α = arctan(p/100)
- p
- Steigung in Prozent
- α
- Steigungswinkel in Grad
- h
- Höhenunterschied
- l
- horizontale Länge
Rechenbeispiel: Steigung von 100 %
- 1
Steigung festlegen: p = 100 %
- 2
Winkel: α = arctan(100/100) = arctan(1)
= 45°
- 3
Verhältnis: 1 : (100/100)
= 1:1
Eine Steigung von 100 % entspricht einem Winkel von 45° und dem Verhältnis 1:1 — auf einem Meter horizontaler Strecke steigt der Weg um einen Meter an.
Typische Fehler
errorGrad und Prozent verwechselt
100 % Steigung sind nicht 100°, sondern nur 45°. Prozent und Grad sind zwei völlig verschiedene Maße: Die Prozentangabe beschreibt das Verhältnis von Höhe zu Länge, die Gradangabe den Winkel. Achten Sie darauf, welche Einheit ein Verkehrsschild oder eine Bauzeichnung meint.
errorSteigung auf die Streckenlänge statt auf die Horizontale bezogen
Die Prozentsteigung bezieht die Höhe auf die horizontale Länge, nicht auf die schräge Strecke. Bei kleinen Steigungen ist der Unterschied gering, bei steilen Rampen aber deutlich. Nutzen Sie im Modus 'aus Höhe und Länge' die horizontale Grundstrecke.
Steigung berechnen — Prozent, Grad und Verhältnis
Die Steigung eines Weges, einer Rampe oder eines Dachs lässt sich auf drei Arten angeben: als Prozentwert, als Winkel in Grad oder als Verhältnis 1:n. Alle drei beschreiben dieselbe Neigung, nur in unterschiedlicher Form. Der Steigungsrechner wandelt sie ineinander um, damit Sie nicht jedes Mal zum Taschenrechner greifen müssen.
Die Prozentangabe ist im Alltag am gebräuchlichsten. Ein Verkehrsschild mit „12 %” bedeutet: Auf 100 Meter horizontaler Strecke steigt die Straße um 12 Meter an. Formal ist die Prozentsteigung der Höhenunterschied geteilt durch die horizontale Länge, mal 100. Der Winkel dagegen ergibt sich über den Arkustangens: α = arctan(p/100). Diese beiden Größen sind nicht linear zueinander — ein häufiger Denkfehler.
Warum 100 Prozent nicht 90 Grad sind
Viele nehmen an, 100 % Steigung wäre senkrecht. Tatsächlich entspricht 100 % einem Winkel von genau 45°: Höhe und Länge sind dann gleich groß. Erst bei unendlich großer Prozentzahl nähert sich der Winkel den 90° einer senkrechten Wand. Deshalb sind Prozent für sehr steile Neigungen unhandlich, und Bauzeichnungen wechseln dort auf Gradangaben.
Das Verhältnis 1:n
Im Bauwesen und bei Bahntrassen ist das Verhältnis 1:n verbreitet. Es sagt, wie viele Meter horizontale Strecke auf einen Meter Höhe kommen. Eine Steigung von 50 % ist das Verhältnis 1:2, eine Steigung von 25 % das Verhältnis 1:4. Der Rechner gibt dieses Verhältnis automatisch mit aus.
Anwendungsfälle
Typische Einsätze sind die Neigung von Rollstuhlrampen (oft maximal 6 %), die Dachneigung beim Hausbau, das Gefälle von Abwasserleitungen oder die Steigung von Rad- und Wanderwegen. In all diesen Fällen brauchen Sie die Umrechnung zwischen Prozent und Grad — genau das übernimmt der Steigungsrechner in beide Richtungen. Für die zugrunde liegenden Streckenlängen und Dreiecksbeziehungen helfen der Dreiecksrechner und der Pythagoras-Rechner.
Prozent und Grad sind nicht dasselbe
Eine Steigung von 100 Prozent entspricht 45 Grad, nicht 90. Prozent beschreibt das Verhältnis von Höhenunterschied zu waagerechter Strecke, Grad den Winkel.
Der Zusammenhang läuft über den Tangens: Steigung in Prozent geteilt durch 100 ergibt den Tangens des Winkels. 10 Prozent sind rund 5,7 Grad, 50 Prozent rund 26,6.
Wovon die Prozentangabe ausgeht
Bezugsgröße ist die waagerechte Strecke, nicht die tatsächlich zurückgelegte Strecke entlang der Schräge. Bei flachen Steigungen ist der Unterschied vernachlässigbar, bei steilen nicht.
Bei 10 Prozent beträgt der Fehler unter einem Prozent. Bei 100 Prozent liegt die Schrägstrecke bereits 41 Prozent über der Waagerechten.
Verkehrsschilder und Dachneigungen
Straßenschilder geben Steigung und Gefälle in Prozent an. Zehn Prozent gelten als deutlich, ab zwölf wird es für schwere Fahrzeuge anspruchsvoll.
Dachneigungen werden dagegen meist in Grad angegeben. Ein 30-Grad-Dach hat rund 58 Prozent Steigung — die beiden Größen liegen weit auseinander und werden regelmäßig verwechselt.
Barrierefreie Rampen
Nach DIN 18040 dürfen Rampen im barrierefreien Bauen höchstens sechs Prozent Steigung haben. Bei einem Höhenunterschied von 60 Zentimetern ergibt das eine Rampe von zehn Metern Länge.
Das überrascht regelmäßig bei der Planung: Der Platzbedarf ist erheblich, und Zwischenpodeste sind ab einer bestimmten Länge zusätzlich vorgeschrieben.
Steigung im Straßenbau und bei der Bahn
Eisenbahnen vertragen deutlich weniger Steigung als Straßen — Stahlrad auf Stahlschiene hat wenig Reibung. Übliche Grenzwerte liegen bei ein bis zwei Prozent, im Gebirge etwas mehr.
Deshalb verlaufen Bahntrassen in Kurven und Tunneln, wo Straßen direkt über den Berg führen. Der Unterschied im zulässigen Gefälle erklärt einen Großteil der Streckenführung.
Von der Steigung zur Höhe
Bei bekannter Steigung und Strecke ergibt sich der Höhenunterschied als Strecke mal Steigung in Prozent durch 100. Fünf Kilometer bei acht Prozent bedeuten 400 Höhenmeter.
Das ist die Standardrechnung bei Rad- und Wandertouren — und die Grundlage dafür, den Aufwand einer Strecke realistisch einzuschätzen.