Volumen-Rechner — Volumen von Quader, Zylinder und Kugel berechnen

Volumen und Oberfläche der drei wichtigsten Körper

Der Volumen-Rechner deckt die drei Grundkörper ab, die im Alltag am häufigsten vorkommen: den Quader, den Zylinder und die Kugel. Sie wählen den gewünschten Körper aus, geben die Maße ein und erhalten sofort Volumen und Oberfläche.

Quader

Der Quader ist die Grundform vieler Gegenstände — vom Umzugskarton bis zum Zimmer. Sein Volumen berechnen Sie aus den drei Kantenlängen:

V = Länge · Breite · Höhe

Die Oberfläche setzt sich aus sechs Rechteckflächen zusammen, die paarweise gleich groß sind:

O = 2 · (l · b + l · h + b · h)

Sind alle drei Kanten gleich lang, ist der Quader ein Würfel.

Zylinder

Ein Zylinder ist ein runder Körper mit kreisförmiger Grundfläche, etwa eine Dose oder ein Rohr. Das Volumen ergibt sich aus der Kreisfläche mal der Höhe:

V = π · r² · h

Die Oberfläche besteht aus zwei Kreisflächen (oben und unten) sowie der Mantelfläche:

O = 2 · π · r · (r + h)

Wichtig ist der Radius: Bei Angaben in Durchmesser teilen Sie diesen vor der Eingabe durch zwei.

Kugel

Die Kugel ist vollständig durch ihren Radius bestimmt. Ihr Volumen wächst mit der dritten Potenz des Radius, weshalb schon kleine Größenunterschiede großen Einfluss haben:

V = 4/3 · π · r³

Die Oberfläche berechnen Sie mit:

O = 4 · π · r²

Einheiten im Blick behalten

Damit das Ergebnis stimmt, sollten alle Eingaben dieselbe Einheit verwenden. Rechnen Sie in Metern, erhalten Sie das Volumen in Kubikmeter und die Oberfläche in Quadratmeter. Für die Umrechnung in Liter multiplizieren Sie das Volumen mit 1000.

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Die Grundformeln

Quader: Länge mal Breite mal Höhe. Zylinder: Grundfläche mal Höhe, also π·r²·h. Kugel: (4/3)·π·r³. Kegel und Pyramide: ein Drittel der Grundfläche mal Höhe.

Der Faktor ein Drittel bei spitz zulaufenden Körpern ist kein Zufall — er folgt aus der Integration und gilt für jede Grundfläche, ob Kreis, Quadrat oder Vieleck.

Einheitenfehler wirken kubisch

Volumen ist eine dritte Potenz. Der Faktor 100 zwischen Zentimeter und Meter wird zu 100³, also einer Million.

Ein Ergebnis, das um den Faktor 1.000 oder 1.000.000 danebenliegt, ist deshalb nie ein Rechenfehler, sondern immer ein Einheitenfehler. Rechnen Sie alle Maße vor der Formel um.

Liter, Kubikdezimeter, Kubikmeter

Ein Liter ist exakt ein Kubikdezimeter, also ein Würfel mit zehn Zentimetern Kante. Ein Kubikmeter sind 1.000 Liter.

Diese Beziehungen sind nicht gerundet — das metrische System ist genau darauf ausgelegt. Und ein Kubikmeter Wasser wiegt rund eine Tonne, was als Plausibilitätskontrolle taugt.

Zusammengesetzte Körper zerlegen

Ein Silo aus Zylinder und Kegel, ein Tank mit gewölbten Böden, ein Haus aus Quader und Prisma: Zerlegen Sie in Grundkörper und addieren Sie.

Ausgesparte Bereiche werden subtrahiert. Bei einem Rohr ist das Volumen des Materials die Differenz aus Außen- und Innenzylinder — nicht der Zylinder über die Wandstärke.

Schüttgut und Auflockerung

Bei Sand, Kies oder Erde unterscheidet man Festmaß und Schüttmaß. Ausgehobener Boden nimmt 20 bis 30 Prozent mehr Raum ein als im gewachsenen Zustand.

Wer Container nach dem berechneten Aushubvolumen bestellt, bestellt zu klein. Der Zuschlag gehört in jede Erdbau-Kalkulation.

Der liegende Zylinder ist ein Sonderfall

Ein liegender Tank füllt sich nicht proportional zur Höhe. Bei halber Höhe ist er genau halb voll, bei einem Viertel der Höhe aber nur zu rund 15 Prozent.

Für diesen Fall brauchen Sie die Kreisabschnittsfläche mal Tanklänge — die lineare Schätzung liegt bei kleinen Füllständen deutlich daneben.