Wahrscheinlichkeitsrechner: Wahrscheinlichkeit berechnen für Würfel, Münze und Lotto

Wahrscheinlichkeit berechnen: günstige Ergebnisse geteilt durch alle möglichen

Die Grundformel stammt von Pierre-Simon Laplace und gilt für alle Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist: P(A) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl möglicher Ergebnisse. Das Ergebnis liegt immer zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher). Der Wahrscheinlichkeitsrechner kürzt den Bruch exakt und gibt zusätzlich Prozent, Dezimalzahl und die Schreibweise 1 zu x aus.

Laplace-Wahrscheinlichkeit für Würfel, Münze, Karten und Roulette

Die folgenden Werte sind die Voreinstellungen des Rechners und die Beispiele, die in Schulbüchern am häufigsten vorkommen. Alle Zahlen stammen aus dem Rechenkern.

Beim Roulette fällt auf, dass Rot knapp unter 50 % liegt. Die grüne Null gehört weder zu Rot noch zu Schwarz, deshalb sind es 18 günstige von 37 Feldern. Die Gegenwahrscheinlichkeit, also kein Rot, beträgt 51,35 %. Wer Wahrscheinlichkeiten lieber als Dezimalzahl oder Bruch umrechnen möchte, findet dafür den Bruch-Dezimal-Umrechner.

Mindestens eine Sechs: warum sich die Wahrscheinlichkeit nicht aufaddiert

Die Frage nach “mindestens einmal” ist die häufigste Anwendung im Alltag: Wie wahrscheinlich ist mindestens eine Sechs, wenn ich viermal würfeln darf? Der direkte Weg über alle Fälle mit einer, zwei, drei oder vier Sechsen ist mühsam. Schneller ist das Gegenereignis: Keine einzige Sechs hat bei n Würfen die Wahrscheinlichkeit (5/6)ⁿ. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 1 − (5/6)ⁿ.

Selbst bei sechs Würfen ist eine Sechs also keineswegs sicher, obwohl sechsmal 1/6 genau 1 ergäbe. Die Wahrscheinlichkeit nähert sich der 100 % nur an, sie erreicht sie nie.

Wie viele Versuche Sie für eine Zielwahrscheinlichkeit brauchen

Der Rechner dreht die Frage auch um: Wie oft muss ich würfeln, damit mindestens eine Sechs mit einer bestimmten Sicherheit fällt? Er löst dazu 1 − (5/6)ⁿ ≥ Ziel nach n auf, also n ≥ ln(1 − Ziel) / ln(5/6), und rundet auf.

Wer zum Spielstart eine Sechs braucht, wartet deshalb nur mit weniger als 1 % Wahrscheinlichkeit länger als 26 Würfe.

Lottozahlen Wahrscheinlichkeit: alle neun Gewinnklassen von 6 aus 49

Beim Lotto 6 aus 49 gibt es (49 über 6) = 13.983.816 mögliche Tipps. Weil die Superzahl von 0 bis 9 hinzukommt, sind es mit Superzahl zehnmal so viele, nämlich 139.838.160. Die Zahl der Treffer mit r Richtigen ist (6 über r) · (43 über 6 − r): r Zahlen kommen aus den sechs gezogenen, der Rest aus den 43 nicht gezogenen. Die passende Superzahl trifft mit 1/10, die falsche mit 9/10. Wie der Binomialkoeffizient dahinter funktioniert, erklärt der Binomialkoeffizient-Rechner.

Zusammen ergeben die neun Klassen 63.677/1.997.688, das sind 3,19 % oder rund 1 zu 31,4. Etwa jeder 31. Tipp gewinnt also irgendetwas, meist in Klasse 8 oder 9. Eine Zufallsziehung der Zahlen selbst übernimmt der Zufallszahlen-Generator.

Und, oder, weder noch: Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse verknüpfen

Im Modus Verknüpfung geben Sie zwei Wahrscheinlichkeiten in Prozent ein. Der Rechner nimmt an, dass sich die Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen. Mit P(A) = 30 % und P(B) = 40 % ergibt sich:

• A und B: 0,3 · 0,4 = 12 %
• A oder B (mindestens eines): 0,3 + 0,4 − 0,12 = 58 %
• weder A noch B: 0,7 · 0,6 = 42 %
• genau eines von beiden: 58 % − 12 % = 46 %

Der Abzug von P(A und B) beim Oder ist der Additionssatz: Ohne ihn würde der Fall, in dem beide eintreten, doppelt gezählt.

Bedingte Wahrscheinlichkeit: wenn ein Ereignis schon feststeht

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A | B) fragt, wie wahrscheinlich A ist, wenn B bereits eingetreten ist. Die Formel lautet P(A | B) = P(A und B) / P(B). Treten A und B gemeinsam mit 10 % ein und B allein mit 40 %, dann ist P(A | B) = 0,1 / 0,4 = 25 %. Unter der Bedingung B bleibt für das Gegenteil von A also 75 %. Diese Rechnung steckt hinter Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen im Unterricht.

Praxisbeispiel Wahrscheinlichkeit: die Wette mit vier Würfen

Ein bekanntes Problem aus dem 17. Jahrhundert geht auf den Chevalier de Méré zurück. Er wettete, bei vier Würfen mindestens eine Sechs zu werfen. Der Rechner liefert mit 1 günstigen von 6 möglichen Ergebnissen und 4 Versuchen genau 671/1.296 = 51,77 %. Die Wette war also knapp im Vorteil.

Später wettete er auf mindestens eine Doppelsechs bei 24 Würfen mit zwei Würfeln. Mit 1 günstigen von 36 möglichen Ergebnissen und 24 Versuchen ergibt sich nur 49,14 %, die Wette verlor auf Dauer. Erst ab 25 Würfen liegt die Chance mit 50,55 % über der Hälfte. Wer wissen will, wie oft genau zwei oder drei Sechsen fallen, braucht statt “mindestens einmal” die Binomialverteilung, die der Binomialverteilung-Rechner mit Tabelle zeigt.

Merkhilfe zur Wahrscheinlichkeit: Größenordnung im Kopf prüfen

• Grenzen: Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1 beziehungsweise 0 und 100 %. Ein Ergebnis über 100 % ist immer ein Rechenfehler.
• Gegenwahrscheinlichkeit: P(A) und P(nicht A) ergeben zusammen genau 1. Eine Sechs 16,67 %, keine Sechs 83,33 %.
• Mindestens einmal: Das Ergebnis liegt nie über n · p. Für kleine p und wenige Versuche ist n · p eine brauchbare Obergrenze.
• Faustregel für 50 %: Bei kleinen Wahrscheinlichkeiten 1 zu x brauchen Sie etwa 0,7 · x Versuche, um mit 50 % mindestens einmal zu treffen. Beim Würfel sind das rund 4 Würfe.
• Und wird kleiner, oder wird größer: P(A und B) ist nie größer als die kleinere der beiden Wahrscheinlichkeiten, P(A oder B) nie kleiner als die größere.

Typische Fehler beim Wahrscheinlichkeit berechnen

Wahrscheinlichkeiten für mehrere Versuche addieren. 4 · 1/6 = 66,67 % ist falsch, richtig sind 51,77 %. Spätestens bei sieben Würfen würde die Addition über 100 % ergeben.

Der Spielerfehlschluss. Nach fünf Würfen ohne Sechs ist die nächste Sechs nicht “fällig”. Würfel und Lottokugeln haben kein Gedächtnis, jeder Wurf hat wieder 1/6.

Nicht gleich wahrscheinliche Ergebnisse zählen. Bei zwei Würfeln gibt es 11 mögliche Augensummen, aber sie sind nicht gleich häufig. Die Summe 7 entsteht aus 6 der 36 Wurfpaare und hat 6/36 = 1/6, die Summe 2 nur aus einem Paar und hat 1/36.

Und-Regel bei abhängigen Ereignissen. Zwei Asse nacheinander aus dem Skatblatt ohne Zurücklegen sind nicht 1/8 · 1/8, weil nach dem ersten Ass nur noch 3 von 31 Karten passen. Hier hilft die bedingte Wahrscheinlichkeit oder das Urnenmodell.