Wie wahrscheinlich ist mindestens eine Sechs bei vier Würfen?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Bei vier Würfen fällt mit 51,77 % mindestens eine Sechs. Sie rechnen über das Gegenereignis: Keine Sechs in einem Wurf hat 5/6, in vier Würfen (5/6)⁴. Diese Zahl ziehen Sie von 1 ab und erhalten 671/1.296. Die naheliegende Rechnung 4 · 1/6 ergibt dagegen zu hohe 66,67 %.
P(A)
16,6667 %
1/6 · 0,1666666667 · 1 zu 6
P(nicht A)
83,3333 %
5/6 · 1 zu 1,2
P(mindestens einmal A bei 4 Versuchen)
51,7747 %
671/1.296 · 1 zu 1,93
P(A bei allen 4 Versuchen)
0,0772 %
1/1.296 · 1 zu 1.296
Nötige Versuche für 90 %
13
Rechenweg
- Laplace-Formel: P(A) = günstige / mögliche Ergebnisse = 1/6 ≈ 16,6667 %
- Gegenwahrscheinlichkeit: P(nicht A) = 1 − 1/6 = 5/6 ≈ 83,3333 %
- Mindestens einmal bei 4 Versuchen: 1 − P(nie A) = 1 − (5/6)^4 ≈ 51,7747 %
- Versuche für mindestens 90 %: n ≥ ln(1 − 0,9) / ln(5/6) → n = 13
Derzeit ohne Vermittlung oder Angebotsstrecke
Diese Seite dient aktuell nur der Orientierung. rechnerportal.net vermittelt derzeit keine Anbieter und gibt keine individuelle Empfehlung ab.
Mehr Infos baldDirekt zum Tool: Wahrscheinlichkeitsrechner öffnen
Formel
Die Wahrscheinlichkeit, bei n unabhängigen Versuchen mindestens einmal zu treffen, ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit, nie zu treffen. Nie treffen bedeutet, n-mal hintereinander das Gegenereignis zu erleben, deshalb wird dessen Wahrscheinlichkeit n-mal mit sich selbst multipliziert.
P(mindestens einmal) = 1 − (1 − p)ⁿ
- p
- Trefferwahrscheinlichkeit in einem einzelnen Versuch, beim Würfel 1/6
- n
- Anzahl der unabhängigen Versuche
Rechenbeispiel: mindestens eine Sechs bei vier Würfen
- 1
Wahrscheinlichkeit für eine Sechs in einem Wurf: 1 günstiges von 6 möglichen Ergebnissen
= 16,67 %
- 2
Gegenwahrscheinlichkeit, in einem Wurf keine Sechs zu werfen: 1 − 1/6 = 5/6
= 83,33 %
- 3
Keine Sechs in allen vier Würfen: (5/6)⁴ = 625/1.296, also rund 48,23 %
- 4
Mindestens eine Sechs in 4 Würfen: 1 − 625/1.296 = 671/1.296
= 51,77 %
Mindestens eine Sechs fällt bei vier Würfen in gut der Hälfte aller Fälle. Vier Würfe sind damit genau die kleinste Anzahl, bei der die Chance über 50 % liegt; bei drei Würfen sind es erst 42,13 %.
Typische Fehler
errorDie Einzelwahrscheinlichkeiten einfach addiert
4 · 1/6 = 66,67 % zählt die Fälle mit zwei oder mehr Sechsen mehrfach. Bei sieben Würfen ergäbe die Addition sogar über 100 %. Rechnen Sie stattdessen über das Gegenereignis, also 1 minus die Wahrscheinlichkeit, nie zu treffen.
errorMindestens einmal mit genau einmal verwechselt
Genau eine Sechs bei vier Würfen hat nur 38,58 %, weil die Fälle mit zwei, drei oder vier Sechsen fehlen. Für genau k Treffer brauchen Sie die Binomialverteilung, für mindestens einen Treffer reicht das Gegenereignis.
errorDie Versuche nicht als unabhängig geprüft
Die Formel gilt nur, wenn jeder Versuch dieselbe Wahrscheinlichkeit hat und nicht vom vorherigen abhängt. Beim Ziehen ohne Zurücklegen, etwa Losen aus einer Lostrommel, ändert sich die Chance nach jedem Zug und die Formel liefert falsche Werte.
Mindestens einmal treffen: warum der Umweg über das Gegenteil kürzer ist
Die Frage nach “mindestens einmal” umfasst viele Einzelfälle. Bei vier Würfen kann die Sechs im ersten, zweiten, dritten oder vierten Wurf fallen, zweimal, dreimal oder sogar viermal. Alle diese Fälle einzeln zu berechnen und zu addieren ist mühsam und fehleranfällig. Das Gegenteil dagegen ist ein einziger Fall: keine einzige Sechs. Seine Wahrscheinlichkeit ist ein einfaches Produkt, und der Rest bis 1 ist die gesuchte Antwort.
Dieser Kniff funktioniert überall, wo mehrere unabhängige Chancen nacheinander kommen: beim Würfelspiel, bei wiederholten Losen, bei Ersatzteilen, die unabhängig voneinander ausfallen können, oder bei der Frage, wie wahrscheinlich in einer Gruppe mindestens eine Person eine bestimmte Eigenschaft hat. Entscheidend ist nur, dass jeder Versuch dieselbe Chance hat und die Versuche sich nicht gegenseitig beeinflussen. Der Würfel erfüllt das, weil er sich an frühere Würfe nicht erinnert: Auch nach zehn Würfen ohne Sechs bleibt es beim nächsten Wurf bei 1/6.
Wie schnell die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs steigt
Mit jedem Wurf wächst die Chance, aber immer langsamer. Ein Wurf bringt 16,67 %, zwei Würfe 30,56 %, drei 42,13 %, vier 51,77 %. Bei sechs Würfen sind es 66,51 %, obwohl sechsmal 1/6 genau 1 ergäbe. Bei zehn Würfen liegt die Chance bei 83,85 %, bei zwanzig bei 97,39 %. Die Kurve flacht ab, weil mit jedem Wurf nur noch die Fälle hinzukommen, in denen vorher keine Sechs gefallen ist.
Eine nützliche Faustregel für kleine Wahrscheinlichkeiten: Bei einer Chance von 1 zu x brauchen Sie etwa 0,7 · x Versuche für eine 50-prozentige Chance auf mindestens einen Treffer. Beim Würfel sind das gut vier Würfe, bei einem Los mit 1 % Gewinnchance rund 69 Lose. Wer dagegen wissen will, wie wahrscheinlich genau zwei oder genau drei Treffer sind, braucht die Binomialverteilung. Sie verteilt die Wahrscheinlichkeit auf jede einzelne Trefferzahl und zeigt, dass bei vier Würfen genau eine Sechs der häufigste Fall mit Treffern ist.