Wendepunkt berechnen: Rechner mit zweiter Ableitung, Sattelpunkt und Wendetangente

Wendepunkt berechnen: Wo f″ das Vorzeichen wechselt, ändert der Graph seine Krümmung

Stellen Sie sich den Graphen als Straße vor, die Sie von links nach rechts befahren. In einer Linkskurve ist die zweite Ableitung positiv, in einer Rechtskurve negativ. Der Wendepunkt ist die Stelle, an der das Lenkrad durch die Mittelstellung geht: Die Krümmung wechselt ihre Richtung. Mathematisch heißt das, f″ wechselt an dieser Stelle das Vorzeichen. Gleichzeitig ist der Wendepunkt die Stelle, an der der Graph am steilsten steigt oder fällt, zumindest in seiner Umgebung. Deshalb spielt er in Anwendungen eine große Rolle, etwa als Zeitpunkt des stärksten Wachstums.

Notwendige und hinreichende Bedingung für Wendepunkte

Die notwendige Bedingung lautet f″(x) = 0. Jede Wendestelle erfüllt sie, aber nicht jede Lösung ist eine Wendestelle. Deshalb folgt die hinreichende Bedingung: Ist zusätzlich f‴(x) ≠ 0, liegt sicher ein Wendepunkt vor. Das Vorzeichen von f‴ verrät die Art. Bei f‴ > 0 wechselt die Krümmung von rechts nach links, bei f‴ < 0 von links nach rechts.

Ist f‴(x) = 0, sagt die hinreichende Bedingung nichts aus. Dann prüft der Rechner direkt, ob f″ links und rechts der Stelle verschiedene Vorzeichen hat. Dieses Vorzeichenwechsel-Kriterium ist das eigentliche Kennzeichen eines Wendepunkts, der Test mit f‴ ist nur die bequemere Abkürzung.

Wendepunkt berechnen am Beispiel x³ − 6x² + 9x + 1

Der Rechner bildet zuerst die Ableitungen: f′(x) = 3x² − 12x + 9, f″(x) = 6x − 12 und f‴(x) = 6. Die notwendige Bedingung 6x − 12 = 0 ergibt x = 2. Da f‴(2) = 6 positiv ist, liegt ein Rechts-Links-Wendepunkt vor. Eingesetzt in die Ausgangsfunktion folgt f(2) = 3, der Wendepunkt heißt W(2 | 3).

Weitere Beispiele aus dem Rechenkern:

Eine kubische Funktion hat immer genau einen Wendepunkt, weil f″ linear ist. Funktionen 4. Grades haben keinen oder zwei, je nachdem, ob die quadratische Gleichung f″(x) = 0 zwei Lösungen mit Vorzeichenwechsel hat. Die Nullstellen von f″ bestimmt der Rechner mit denselben Verfahren wie der Nullstellen-Rechner.

Wendetangente berechnen: Steigung im Wendepunkt einsetzen

Die Wendetangente ist eine Gerade y = mx + t durch den Wendepunkt. Ihre Steigung ist m = f′(x_W). Für W(2 | 3) gilt f′(2) = 12 − 24 + 9 = −3. Den Achsenabschnitt liefert t = y_W − m · x_W = 3 − (−3) · 2 = 9. Die Wendetangente lautet y = −3x + 9. Anders als eine gewöhnliche Tangente durchsetzt sie den Graphen: Auf der einen Seite liegt die Kurve über der Geraden, auf der anderen darunter. Die Steigung an beliebigen anderen Stellen berechnet der Ableitungsrechner.

Sattelpunkt berechnen: Wendepunkt mit waagerechter Tangente

Ist im Wendepunkt zusätzlich f′(x) = 0, hat die Wendetangente die Steigung null. Diesen Sonderfall nennt man Sattel- oder Terrassenpunkt. Der Graph flacht kurz ab und läuft dann in derselben Richtung weiter.

Ein Sattelpunkt ist kein Extrempunkt, obwohl die Tangente waagerecht ist. Wie Sie beide Fälle über die erste Ableitung trennen, zeigt der Extrempunkte-Rechner.

Wendepunkte bestimmen, wenn auch f‴ null wird

Die Zeilen x⁵ und x⁴ in der Tabelle zeigen, warum das Vorzeichenwechsel-Kriterium nötig ist. Bei x⁵ ist f″(x) = 20x³. Links von 0 ist das negativ, rechts positiv, also liegt ein Wendepunkt vor, obwohl f‴(0) = 60 · 0² = 0 ist. Bei x⁴ ist f″(x) = 12x² auf beiden Seiten positiv. Der Graph bleibt eine Linkskurve, die Stelle 0 ist nur ein Flachpunkt. Der Rechner prüft in diesem Fall die Werte von f″ knapp links und rechts der Stelle und schreibt das Ergebnis in den Rechenweg.

Wendepunkte von e-Funktionen und Sinus im Intervall

Ist f″ kein Polynom, sucht der Rechner die Nullstellen numerisch in einem Intervall, standardmäßig von −10 bis 10. Für die Glockenkurve e^(−x²) findet er zwei Wendepunkte bei x = ±0,7071 mit y = 0,6065. Für x · e^(−x) liegt der Wendepunkt bei W(2 | 0,2707). Bei sin(x) im Intervall von −4 bis 4 sind es die Stellen −3,1416, 0 und 3,1416, also genau die Nullstellen des Sinus. Die Werte sind auf vier Nachkommastellen gerundet.

Praxisbeispiel Wendepunkt: der Moment des schnellsten Anstiegs

Ein Becken wird zwei Stunden lang befüllt, die Füllhöhe in Dezimetern folgt h(t) = −t³ + 3t². Der Rechner liefert f″(t) = −6t + 6 und damit den Wendepunkt W(1 | 2), einen Links-Rechts-Wendepunkt. Die Steigung dort ist f′(1) = 3, die Wendetangente y = 3x − 1. Übersetzt: Nach einer Stunde steht das Wasser 2 dm hoch und steigt gerade am schnellsten, mit 3 dm pro Stunde. Danach wird der Anstieg langsamer, bis die Höhe nach zwei Stunden ihr Maximum von 4 dm erreicht.

Plausibilitätsprüfung für Wendepunkte: Symmetrie und Lage

Bei kubischen Funktionen ist der Wendepunkt das Symmetriezentrum des Graphen. Er liegt deshalb genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt. Für x³ − 6x² + 9x + 1 mit H(1 | 5) und T(3 | 1) ergibt der Mittelwert (2 | 3), genau der berechnete Wendepunkt. Achsensymmetrische Funktionen wie x⁴ − 6x² haben ihre Wendepunkte spiegelbildlich, hier bei x = −1 und x = 1 mit gleichem y-Wert. Liegt ein Ergebnis außerhalb dieser Muster, lohnt ein zweiter Blick.

Typische Fehler beim Wendepunkte bestimmen

Erstens wird der y-Wert in f″ statt in f eingesetzt, dann erhält man immer 0. Zweitens wird bei f‴ = 0 die Stelle verworfen, ohne den Vorzeichenwechsel zu prüfen. Drittens wird jede Nullstelle von f″ als Wendepunkt gezählt, auch Flachpunkte wie bei x⁴. Viertens wird bei der Wendetangente die Steigung aus f″ statt aus f′ genommen. Fünftens bleibt unbemerkt, dass ein Wendepunkt mit f′ = 0 ein Sattelpunkt ist und in der Kurvendiskussion gesondert genannt werden sollte.