Wendepunkt und Sattelpunkt unterscheiden: Woran erkennt man den Unterschied?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Beide erfüllen f″(x) = 0 mit Vorzeichenwechsel von f″. Den Unterschied macht die erste Ableitung: Ist f′ an der Wendestelle null, liegt ein Sattelpunkt vor, sonst ein gewöhnlicher Wendepunkt mit schräger Wendetangente. Ein Sattelpunkt ist kein Hoch- oder Tiefpunkt.
Potenzen mit ^ schreiben (x^3), Mal-Punkt darf fehlen (6x). Erlaubt sind auch sin, cos, e^x, ln und sqrt.
Der Suchbereich gilt nur für Funktionen, deren zweite Ableitung kein Polynom ist.
f′(x)
3x² − 12x + 9
f″(x)
6x − 12
f‴(x)
6
Wendepunkt
W(2 | 3)
Rechts-Links-Wendepunkt
Wendetangente: y = -3x + 9
Rechenweg
- f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1
- Ableitungen: f′(x) = 3x² − 12x + 9, f″(x) = 6x − 12, f‴(x) = 6
- Notwendige Bedingung: f″(x) = 0, also 6x − 12 = 0
- Polynom 1. Grades in Normalform: f″(x) = 6x − 12
- Lineare Gleichung: 6x − 12 = 0 ⇒ 6x = 12 ⇒ x = 12 / 6 = 2
- Nullstellen: x = 2
- Linearfaktorzerlegung: f″(x) = 6 · (x − 2)
- Hinreichende Bedingung: f‴(x) ≠ 0 an der Stelle (bei f‴(x) = 0 wird der Vorzeichenwechsel von f″ geprüft).
- x = 2: f‴(2) = 6 > 0 ⇒ Wendepunkt (Krümmung wechselt von rechts nach links)
- y-Wert: f(2) = 3 ⇒ Wendepunkt W(2 | 3), Wendetangente y = -3x + 9
- Ergebnis: W(2 | 3)
Hoch- und Tiefpunkte derselben Funktion: Extrempunkte-Rechner. Nur die Ableitungen: Ableitungsrechner.
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Mehr Infos baldDirekt zum Tool: Wendepunkt-Rechner öffnen
Formel
Wendepunkt: zweite Ableitung gleich null und dritte Ableitung ungleich null, ersatzweise Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung. Sattelpunkt: zusätzlich ist die erste Ableitung an dieser Stelle null.
Wendepunkt: f″(x) = 0 und f‴(x) ≠ 0; Sattelpunkt: zusätzlich f′(x) = 0
- f′(x)
- erste Ableitung, Steigung der Tangente
- f″(x)
- zweite Ableitung, Krümmung des Graphen
- f‴(x)
- dritte Ableitung, hinreichende Bedingung für den Krümmungswechsel
Rechenbeispiel: f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1
- 1
Zweite Ableitung f″(x) = 6x − 12 gleich null setzen
= x = 2
- 2
Dritte Ableitung f‴(x) = 6 ist ungleich null, die Krümmung wechselt von rechts nach links
= 1 Wendepunkt
- 3
y-Wert mit der Ausgangsfunktion: f(2) = 8 − 24 + 18 + 1
= y = 3
- 4
Sattelpunkt-Test: f′(2) = 12 − 24 + 9 = −3, die Tangente ist nicht waagerecht
= 0 Sattelpunkte
W(2 | 3) ist ein gewöhnlicher Rechts-Links-Wendepunkt mit der fallenden Wendetangente y = −3x + 9. Ein Sattelpunkt läge nur vor, wenn auch f′(2) null wäre.
Typische Fehler
errorWaagerechte Tangente automatisch als Extrempunkt gedeutet
f′(x) = 0 ist nur die notwendige Bedingung für Extrempunkte. Bei x³ ist f′(0) = 0, aber f′ ist links und rechts von 0 positiv. Der Graph steigt durch, es gibt keinen Hoch- oder Tiefpunkt, sondern einen Sattelpunkt im Ursprung.
errorSattelpunkt nur über die dritte Ableitung gesucht
Die dritte Ableitung entscheidet, ob ein Wendepunkt vorliegt, nicht ob er ein Sattelpunkt ist. Für den Sattelpunkt brauchen Sie zusätzlich die erste Ableitung an derselben Stelle. Erst f″ = 0 mit Krümmungswechsel und f′ = 0 zusammen ergeben einen Sattelpunkt.
Sattelpunkt und Wendepunkt in der Kurvendiskussion trennen
In der Kurvendiskussion begegnet Ihnen der Sattelpunkt zweimal. Bei der Suche nach Extrempunkten taucht er als Kandidat auf, weil f′ dort null ist, fällt dann aber durch, weil f′ das Vorzeichen nicht wechselt. Bei der Suche nach Wendepunkten taucht er wieder auf, diesmal als vollwertiger Wendepunkt. Wer beide Rechnungen sauber durchführt, findet ihn deshalb automatisch an der richtigen Stelle: nicht unter den Extrempunkten, sondern unter den Wendepunkten mit dem Zusatz waagerechte Tangente.
Praktisch lohnt sich folgende Reihenfolge. Bestimmen Sie zuerst alle Wendestellen aus f″(x) = 0 mit der dritten Ableitung oder dem Vorzeichenwechsel. Setzen Sie anschließend jede Wendestelle in f′ ein. Ergibt sich null, notieren Sie einen Sattelpunkt, sonst berechnen Sie die Wendetangente mit der Steigung f′(x). Diese eine zusätzliche Einsetzung kostet kaum Zeit und verhindert, dass ein Sattelpunkt fälschlich als Hochpunkt oder Tiefpunkt in der Lösung steht.
Der Grenzfall f‴ = 0 betrifft beide Punktarten. Bei x⁵ ist an der Stelle 0 die erste, zweite und dritte Ableitung null. Trotzdem wechselt f″ = 20x³ das Vorzeichen, und weil auch f′ = 0 ist, liegt ein Sattelpunkt vor. Bei x⁴ wechselt f″ das Vorzeichen nicht, die Stelle ist ein Flachpunkt und zugleich ein Tiefpunkt. Die dritte Ableitung allein hätte hier in beiden Fällen keine Entscheidung erlaubt.
Ein Blick auf die Linearfaktoren von f′ liefert oft schon vorab einen Hinweis. Taucht ein Faktor in f′ in gerader Anzahl auf, etwa x² in f′(x) = 4x³ − 12x² = 4x² · (x − 3), wechselt f′ an dieser Stelle nicht das Vorzeichen. Genau dort ist ein Sattelpunkt zu erwarten, im Beispiel x⁴ − 4x³ an der Stelle 0. Eine einfache oder dreifache Nullstelle von f′ deutet dagegen auf einen Hoch- oder Tiefpunkt, wie x⁴ mit f′(x) = 4x³ zeigt.
Für Sachaufgaben ist der Unterschied ebenfalls wichtig. Ein gewöhnlicher Wendepunkt markiert die stärkste Änderung, etwa den schnellsten Anstieg. Ein Sattelpunkt markiert dagegen einen kurzen Stillstand, nach dem die Entwicklung in dieselbe Richtung weiterläuft.