Deg in Rad umrechnen: Grad, Radiant, Gon, Bogenminute und Umdrehung

Deg in Rad umrechnen: 180 Grad sind π Radiant

Ein Vollkreis hat 360 Grad, 2π Radiant, 400 Gon oder eine Umdrehung. Alle Winkeleinheiten teilen also denselben Kreis nur unterschiedlich fein auf, und jede Umrechnung ist eine Multiplikation mit einem festen Faktor. Für Grad in Radiant lautet er π geteilt durch 180, also 0,017453; für Radiant in Grad 180 geteilt durch π, also 57,2958. Der Winkel-Umrechner rechnet mit diesen exakten Werten und zeigt sie bei jedem Ergebnis an.

Grad in Radiant: die Tabelle mit π-Brüchen

Die wichtigsten Winkel lassen sich als Bruchteile von π schreiben. Das ist praktisch, weil Mathematikbücher und Programmcode oft genau diese Schreibweise verwenden:

Ein einzelnes Grad sind 0,017453 rad. Wer den Faktor nicht im Kopf hat, merkt sich den Ankerpunkt 180° = π und rechnet anteilig: 45° sind ein Viertel von 180°, also π/4.

Rad in Grad: Bogenmaß zurück in Winkelgrade

Für rad in deg multiplizieren Sie mit 57,2958. Ergebnisse von Taschenrechnern, Tabellenkalkulationen und Programmiersprachen kommen fast immer im Bogenmaß an und müssen für die Anschauung in Grad übersetzt werden:

Der Wert 1 rad ist keine ‘runde’ Zahl in Grad, weil π irrational ist. Deshalb erscheinen in Software Winkel wie 1,570796 statt 90; wer solche Zahlen sieht, hat Bogenmaß vor sich.

Gon in Grad und Grad in Gon: die Einheit der Vermessung

Das Gon, früher Neugrad, teilt den Vollkreis in 400 Teile. Ein rechter Winkel sind damit 100 gon, was Vermessern das Rechnen erleichtert, weil Dezimalbrüche statt Minuten und Sekunden verwendet werden. Der Faktor für Gon in Grad ist 0,9, für Grad in Gon 1,1111.

In Katasterunterlagen, auf Theodoliten und in Vermessungssoftware steht das Gon oft ohne Hinweis. Wer einen Grenzwinkel von 100 gon als 100 Grad liest, baut einen Fehler von 10 Grad ein. Ein Radiant sind übrigens 63,662 gon, und 100 gon sind 1,570796 rad, genau wie 90 Grad.

Bogenminute und Bogensekunde: ein Grad in 3.600 Teilen

Ein Grad hat 60 Bogenminuten (′), eine Bogenminute 60 Bogensekunden (″). Ein Grad sind also 3.600 Bogensekunden, eine Bogenminute 0,016667 Grad und eine Bogensekunde 0,00027778 Grad. Die Schreibweise 52° 31′ 12″ stammt aus Astronomie und Navigation und steckt bis heute in geografischen Koordinaten. Im Bogenmaß ist eine Bogenminute 0,00029089 rad.

Für die Umrechnung einer Sexagesimalangabe in Dezimalgrad teilen Sie Minuten durch 60 und Sekunden durch 3.600 und addieren. 30 Bogenminuten sind 0,5 Grad, 90 Bogenminuten sind 1,5 Grad, 10 Grad sind 600 Bogenminuten. Ferngläser geben ihr Sehfeld oft in Metern auf 1.000 m an; ein Grad entspricht dabei etwa 17,5 m, eine Bogenminute etwa 29 cm. Die Seemeile ist genau so definiert: eine Bogenminute auf dem Erdgroßkreis, 1.852 Meter.

Umdrehung in Grad: Drehzahlen, Servos und Schrauben

Eine Umdrehung (U) sind 360 Grad oder 6,283185 rad. Diese Einheit taucht bei Drehzahlen, Servomotoren, Schrittmotoren und beim Anziehen von Schrauben nach Winkel auf. Eine Viertelumdrehung sind 90 Grad, eine halbe 180 Grad, zwei Umdrehungen 720 Grad und zehn Umdrehungen 3.600 Grad. Umgekehrt sind 90 Grad 0,25 Umdrehungen, 720 Grad 2 Umdrehungen und 1.080 Grad 3 Umdrehungen.

Wer Winkelgeschwindigkeiten rechnet, multipliziert die Drehzahl in Umdrehungen pro Sekunde mit 2π und erhält Radiant pro Sekunde. Der Winkel-Umrechner deckt den Winkel selbst ab; die Zeitkomponente bleibt unverändert, sodass die Umrechnung von U/min in rad/s ein Faktor 2π geteilt durch 60 ist.

Steigungswinkel in Grad und Prozent sind nicht proportional

Auf Verkehrsschildern steht die Steigung in Prozent, in Bauzeichnungen oft in Grad. Die beiden Angaben sind keine Winkeleinheiten im Sinn des Umrechners, denn Prozent beschreibt das Verhältnis von Höhe zu Strecke, also den Tangens des Winkels. Der Zusammenhang ist nicht linear: 45 Grad sind 100 Prozent, aber 90 Grad wären unendlich viele Prozent. Einige Wertepaare aus dem Steigungsrechner des Portals zeigen den Verlauf:

Umgekehrt entsprechen 10 Prozent nur 5,71 Grad, 50 Prozent 26,57 Grad und 200 Prozent 63,43 Grad. Für Dachneigungen, Rampen und Straßensteigungen ist der Steigungsrechner die passende Stelle; dort geben Sie auch Höhe und Länge direkt ein.

Winkel im Kopf umrechnen: Ankerpunkte für die Plausibilität

Drei Anker genügen. Erstens 180° = π rad, also etwa 3,14; ein Winkel in Radiant ist immer kleiner als 6,3, solange er unter einer Umdrehung bleibt. Zweitens 1 rad ist etwas weniger als 60°; wer 2 rad sieht, weiß, dass es etwa 115° sind. Drittens 100 gon = 90°, sodass Gonwerte immer um ein Neuntel größer sind als Gradwerte. Mit diesen Regeln prüfen Sie jedes Ergebnis: 120° sollten rund 2,1 rad sein; der Rechner sagt 2,094395 rad. 270° sollten 300 gon sein, exakt.

Praxisbeispiel: Eine Tabellenkalkulation soll die Höhe eines Baums aus 25 m Abstand und 40° Sichtwinkel berechnen. Die Tangensfunktion erwartet Radiant, also 40° mal 0,017453, das sind 0,698132 rad. Wer stattdessen 40 eingibt, rechnet mit 40 rad, also 2.291,8312°, und erhält ein absurdes Ergebnis. Für die eigentliche Dreiecksrechnung mit Winkel, Gegenkathete und Ankathete steht der Dreieck-Rechner bereit, für Bogenlängen und Kreissektoren der Kreis-Rechner.

Typische Fehler bei Grad, Radiant und Gon

Der häufigste Fehler ist der falsche Taschenrechnermodus, DEG statt RAD oder umgekehrt; das Ergebnis ist dann eine Zahl, die plausibel aussieht und trotzdem falsch ist. Der zweite Fehler ist die Verwechslung von Radius und Radiant: Beide werden mit ‘rad’ oder ‘r’ abgekürzt, aber der Radius ist eine Länge. Der dritte Fehler ist das Gon, das als Grad gelesen wird, mit 10 Prozent Abweichung. Der vierte Fehler ist die Sexagesimalschreibweise: 52,31° ist nicht 52° 31′, denn 31 Minuten sind 0,5167 Grad. Und der fünfte Fehler ist die Gleichsetzung von Steigungsprozent mit Winkelgrad, bei der aus 45 Grad fälschlich 45 Prozent werden, obwohl es 100 Prozent sind.

Woher Grad, Radiant und Gon kommen

Die Teilung des Kreises in 360 Grad stammt aus Babylon, wo das Sechzigersystem galt und das Jahr näherungsweise 360 Tage hatte. Daraus folgen auch die 60 Minuten und 60 Sekunden je Grad. Der Radiant entstand im 18. und 19. Jahrhundert mit der Analysis, weil Ableitungen von Sinus und Kosinus nur im Bogenmaß ohne Zusatzfaktor auskommen; seit 1995 gilt er als abgeleitete SI-Einheit. Das Gon ist ein Kind der Französischen Revolution, die den Kreis dezimal in 400 Teile aufteilen wollte, und hat sich in der Vermessung gehalten, während es im Alltag verschwand. Der Winkel-Umrechner bringt alle drei Traditionen und die Umdrehung auf einen Nenner.