Wie rechnet man Grad in Bogenmaß um? DEG und RAD am Taschenrechner
Stand: Methodik
Sie rechnen Grad in Bogenmaß um, indem Sie den Winkel mit π multiplizieren und durch 180 teilen. 30 Grad sind so 0,5236 rad, 90 Grad sind 1,5708 rad. Ein Radiant entspricht umgekehrt 57,30 Grad. Am Taschenrechner entscheidet die Einstellung DEG oder RAD, in welcher Einheit Winkel erwartet werden.
Winkel umgerechnet
1,5708 rad
1 ° = 0,0174533 rad
Winkel in allen Einheiten
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Formel
Multiplizieren Sie den Winkel in Grad mit π und teilen Sie durch 180, um Radiant zu erhalten. Für die Gegenrichtung multiplizieren Sie Radiant mit 180 und teilen durch π. Gon ergeben sich aus Grad mal 10/9.
rad = Grad · π / 180
- rad
- Winkel im Bogenmaß (Radiant)
- Grad
- Winkel in Altgrad, ein Vollkreis hat 360 Grad
- π
- Kreiszahl, rund 3,14159
Rechenbeispiel: Winkel für eine Mathe-Aufgabe ins Bogenmaß bringen
- 1
30 Grad in Radiant: 30 × π ÷ 180
= 0,5236 rad
- 2
45 Grad in Radiant: 45 × π ÷ 180
= 0,7854 rad
- 3
90 Grad in Radiant: 90 × π ÷ 180
= 1,5708 rad
- 4
Gegenprobe: 1 Radiant in Grad
= 57,2958 °
- 5
Dieselben 30 Grad in Gon für die Vermessung
= 33,33 gon
30 Grad entsprechen 0,5236 Radiant oder π/6, 90 Grad entsprechen π/2. Ein Radiant ist mit gut 57 Grad ein recht großer Winkel. Wer diese Werte kennt, erkennt sofort, ob der Taschenrechner im richtigen Modus arbeitet.
Typische Fehler
errorDen Taschenrechner im falschen Winkelmodus benutzt
Im Modus RAD wird die Eingabe 30 als 30 Radiant gelesen, also als fast fünf volle Umdrehungen. Der Sinus ergibt dann minus 0,988 statt 0,5. Prüfen Sie vor jeder Rechnung mit Winkeln die Anzeige DEG oder RAD im Display und stellen Sie den Modus passend zur Aufgabe ein.
errorGrad, Minuten und Sekunden als Dezimalzahl gelesen
Die Angabe 30° 30′ bedeutet 30 Grad und 30 Bogenminuten, also 30,5 Grad und nicht 30,3 Grad. Eine Bogenminute ist ein Sechzigstel Grad. Rechnen Sie Minuten und Sekunden zuerst in Dezimalgrad um und wandeln Sie erst dann ins Bogenmaß.
errorDen Modus GRAD für Altgrad gehalten
Auf vielen Taschenrechnern steht GRAD nicht für Grad, sondern für Gon, also die Einteilung des Vollkreises in 400 Teile. Für Winkel in der Schule und im Alltag ist der Modus DEG richtig. GRAD brauchen Sie nur für Vermessungsaufgaben mit Gon-Angaben.
Bogenmaß in Schule, Studium und Programmierung
In der Mittelstufe rechnen Schülerinnen und Schüler Winkel ausschließlich in Grad. Spätestens bei Sinus- und Kosinusfunktionen in der Oberstufe kommt das Bogenmaß hinzu, weil Funktionen wie f(x) = sin(x) mit x in Radiant definiert sind. Ableitungen und Integrale von Winkelfunktionen gelten in der gewohnten Form nur im Bogenmaß. Wer dort in Grad rechnet, erhält falsche Ergebnisse, selbst wenn jeder Rechenschritt stimmt.
Ähnlich ist es beim Programmieren und in Tabellenkalkulationen. Die Funktion SIN in Excel oder Math.sin in JavaScript erwartet Radiant. Eine häufige Fehlerquelle in Programmen ist daher die fehlende Umrechnung von Grad, die ein Nutzer eingegeben hat. Die Faustregel lautet: Alles, was von Menschen kommt, ist meist in Grad, alles, was an eine Funktion geht, muss in Radiant.
Auch in Physik und Technik ist das Bogenmaß Standard. Winkelgeschwindigkeiten von Motoren und Rädern werden in Radiant pro Sekunde angegeben. Eine Drehzahl von 60 Umdrehungen pro Minute entspricht einer Umdrehung pro Sekunde und damit 2π, also rund 6,28 Radiant pro Sekunde. Wer Formeln aus einem Physikbuch anwendet, sollte deshalb immer prüfen, ob dort Grad oder Radiant gemeint sind.
Was ein Radiant anschaulich bedeutet
Ein Radiant ist der Winkel, bei dem der Kreisbogen genau so lang ist wie der Radius. Stellen Sie sich einen Kreis mit einem Meter Radius vor. Laufen Sie auf dem Rand einen Meter entlang, haben Sie vom Mittelpunkt aus gesehen einen Winkel von einem Radiant überstrichen, also etwa 57 Grad. Für den ganzen Umfang brauchen Sie 2π Meter, deshalb hat der Vollkreis 2π Radiant.
Diese Definition macht das Bogenmaß praktisch: Die Bogenlänge ist einfach Radius mal Winkel in Radiant. Mit Grad bräuchte man jedes Mal den Umrechnungsfaktor. Für Dreiecke mit Winkeln eignet sich der Dreiecksrechner, für Steigungen in Prozent und Grad der Steigungsrechner. Sehne, Bogenlänge und Fläche eines Kreissegments berechnet der Kreisabschnittrechner.