Winkelfunktionen Rechner: Sinus, Kosinus und Tangens mit Dreieck und Rechenweg

Winkelfunktionen verbinden einen Winkel mit dem Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck

Sinus, Kosinus und Tangens beantworten eine einfache Frage: Wie lang ist eine Seite im Verhältnis zu einer anderen, wenn der Winkel feststeht? Weil alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben Winkel ähnlich sind, hängt dieses Verhältnis nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks. Genau das macht die Winkelfunktionen so nützlich für Dachneigungen, Rampen, Vermessung und jede Schulaufgabe zur Trigonometrie.

Sinus, Kosinus und Tangens nach SOH-CAH-TOA zuordnen

Im rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten, und ihre Namen hängen vom betrachteten Winkel α ab: Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber, die Ankathete liegt am Winkel an.

Wechseln Sie zum anderen spitzen Winkel β = 53,13°, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen. Deshalb ist der Sinus von α immer der Kosinus von β. Wer nur fehlende Seiten ohne Winkel sucht, kommt mit dem Pythagoras-Rechner schneller ans Ziel.

Exakte Werte von sin, cos und tan bei 0°, 30°, 45°, 60° und 90°

Fünf Winkel tauchen in Aufgaben so oft auf, dass sich ihre exakten Werte lohnen. Sie entstehen aus dem halbierten gleichseitigen Dreieck (30° und 60°) und dem halben Quadrat (45°).

Gerundet sind √2/2 = 0,7071 und √3/2 = 0,8660. Der Rechner erkennt auch größere Vielfache von 30° und 45° über den Referenzwinkel: sin 150° = 1/2, cos 135° = −√2/2, tan 120° = −√3.

Sinus Rechner, Kosinus Rechner, Tangens Rechner: Werte für häufige Winkel

Zwischen den Standardwinkeln helfen nur gerundete Dezimalwerte. Die folgende Tabelle zeigt die Werte in 5-Grad-Schritten, wie sie der Rechner im Gradmaß ausgibt.

Die Spalten zeigen die Symmetrie: Der Sinus von 20° ist der Kosinus von 70°. Der Tangens wächst ab etwa 45° immer schneller und läuft gegen 90° ins Unendliche.

Grad oder Bogenmaß: die häufigste Falle bei sin, cos und tan

Taschenrechner und Programmiersprachen kennen zwei Winkelmaße. Im Gradmaß hat der Vollkreis 360°, im Bogenmaß 2π (rund 6,2832). Steht der Rechner auf RAD und Sie tippen sin(30), rechnet er mit 30 Radiant, also rund 1.718,87°. Ergebnis: −0,9880 statt 0,5. Dasselbe passiert in Tabellenkalkulationen und vielen Programmiersprachen, deren SIN-Funktion grundsätzlich im Bogenmaß rechnet.

Der Winkelfunktionen-Rechner fragt die Einheit deshalb ausdrücklich ab. Geben Sie im Bogenmaß π/6 als 0,5236 ein, erhalten Sie wieder sin = 0,5. Die Umrechnung selbst ist einfach: Grad mal π durch 180 ergibt das Bogenmaß. Für Gon, Bogenminuten und andere Winkelmaße gibt es den Rechner Winkel umrechnen.

arcsin, arccos und arctan: vom Wert zurück zum Winkel

Die Umkehrfunktionen liefern zu einem Funktionswert den Winkel. Weil sich sin, cos und tan periodisch wiederholen, gibt es im Vollkreis meist zwei Lösungen. Der Rechner nennt beide.

Im rechtwinkligen Dreieck zählt nur der Hauptwert, weil beide spitzen Winkel zwischen 0° und 90° liegen. Bei Schwingungen, Kreisbewegungen oder Gleichungen wie sin x = 0,5 brauchen Sie dagegen beide Lösungen.

Rechtwinkliges Dreieck mit Winkelfunktionen lösen: ein Praxisbeispiel

Eine Leiter von 4 Metern Länge soll im Winkel von 70° an der Wand lehnen. Wie hoch reicht sie, und wie weit steht der Fuß von der Wand entfernt? Die Leiter ist die Hypotenuse, die Höhe an der Wand die Gegenkathete des Winkels am Boden.

• Höhe: a = c · sin α = 4 · sin 70° = 3,7588 m
• Abstand zur Wand: b = c · cos α = 4 · cos 70° = 1,3681 m
• Winkel oben an der Wand: β = 90° − 70° = 20°

Zweites Beispiel mit dem Tangens: Eine Rampe soll auf 12 Metern Länge mit 6° ansteigen. Die Höhe ist a = 12 · tan 6° = 1,2613 m, die schräge Fahrbahn misst 12,0661 m. Für Dreiecke ohne rechten Winkel nutzen Sie den Dreieck-Rechner mit Sinussatz und Kosinussatz, für Gefälle in Prozent den Steigungsrechner.

Merkhilfe für Winkelfunktionen: Werte im Kopf überschlagen

Drei Anker genügen für eine schnelle Plausibilitätsprüfung. Erstens: sin 30° = 0,5, also ist die Gegenkathete eines 30°-Winkels halb so lang wie die Hypotenuse. Zweitens: tan 45° = 1, beide Katheten sind gleich lang. Drittens: Für kleine Winkel unter etwa 10° sind Sinus und Tangens fast gleich und ungefähr Winkel im Bogenmaß (sin 10° = 0,1736, tan 10° = 0,1763, 10° = 0,1745 rad).

Daraus folgt: Liegt der Winkel unter 45°, muss der Tangens kleiner als 1 sein und der Sinus kleiner als der Kosinus. Liefert Ihr Taschenrechner für tan 20° einen Wert über 1, ist der Modus falsch eingestellt.

Typische Fehler bei Sinus, Kosinus und Tangens

• Falsche Kathete: Wer Gegenkathete und Ankathete aus Sicht des falschen Winkels benennt, rechnet mit sin statt cos. Markieren Sie den Winkel zuerst im Bild.
• Hypotenuse kürzer als eine Kathete: Das ist geometrisch unmöglich. Der Rechner lehnt solche Eingaben ab, im Heft fällt der Fehler oft erst am Ende auf.
• sin⁻¹ mit 1/sin verwechselt: Die Taste sin⁻¹ meint arcsin, nicht den Kehrwert. 1/sin heißt Kosekans und spielt in der Schule kaum eine Rolle.
• Zu früh gerundet: Wer sin 70° auf 0,94 rundet, erhält bei 4 Metern 3,76 m statt 3,7588 m. Runden Sie erst das Endergebnis.
• Zweite Lösung vergessen: Bei Gleichungen wie cos x = 0,5 ist 60° nur die halbe Antwort, 300° gehört dazu.