Sinus, Kosinus, Tangens: welche Funktion wann?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Welche Winkelfunktion Sie brauchen, hängt davon ab, welche zwei Seiten im rechtwinkligen Dreieck beteiligt sind. Kennen oder suchen Sie Gegenkathete und Hypotenuse, nehmen Sie den Sinus. Geht es um Ankathete und Hypotenuse, ist der Kosinus richtig. Spielt die Hypotenuse keine Rolle, nur die beiden Katheten, rechnen Sie mit dem Tangens.
sin(30°)
0,5
exakt 1/2
cos(30°)
0,8660254
exakt √3/2
tan(30°)
0,57735027
exakt √3/3
Rechenweg
- Umrechnung ins Bogenmaß: 30° · π / 180° = 0,523599
- sin(30°) = 0,5
- cos(30°) = 0,8660254
- tan(30°) = sin / cos = 0,5 / 0,8660254 = 0,57735027
- Exakte Werte über den Referenzwinkel 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3
Exakte Werte der Standardwinkel
| Grad | Bogenmaß | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | nicht definiert |
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Formel
Der Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, der Kosinus Ankathete durch Hypotenuse und der Tangens Gegenkathete durch Ankathete. Der Tangens ist zugleich Sinus geteilt durch Kosinus.
sin α = a / c; cos α = b / c; tan α = a / b = sin α / cos α
- a
- Gegenkathete, die Seite gegenüber dem Winkel α
- b
- Ankathete, die Kathete, die am Winkel α anliegt
- c
- Hypotenuse, die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel
Rechenbeispiel: sin, cos und tan von 30 Grad
- 1
Winkel im Gradmaß festlegen
= 30°
- 2
In das Bogenmaß umrechnen: 30 · π / 180
= 0,5236 rad
- 3
Sinus bilden: Gegenkathete ist halb so lang wie die Hypotenuse
= sin = 0,5
- 4
Kosinus bilden: Ankathete im Verhältnis zur Hypotenuse
= cos = 0,866
- 5
Tangens als Sinus durch Kosinus: 0,5 / 0,866
= tan = 0,5774
Bei 30 Grad ist die Gegenkathete genau halb so lang wie die Hypotenuse und gut halb so lang wie die Ankathete. Eine 10 Meter lange Leiter im 30-Grad-Winkel zum Boden reicht deshalb 5 Meter hoch.
Typische Fehler
errorDie Funktion nach dem gesuchten Winkel statt nach den beteiligten Seiten gewählt
Markieren Sie zuerst die Seite, die Sie kennen, und die Seite, die Sie suchen. Erst dieses Seitenpaar legt fest, ob Sinus, Kosinus oder Tangens passt. Der Winkel allein sagt darüber nichts aus.
errorDen Tangens genommen, obwohl die Hypotenuse gegeben ist
Der Tangens verbindet nur die beiden Katheten. Steht die Hypotenuse in der Aufgabe, etwa als Leiterlänge oder Seillänge, brauchen Sie den Sinus oder den Kosinus. Sonst landet die gegebene Länge an der falschen Stelle der Gleichung.
errorIm Kosinus die Gegenkathete eingesetzt, weil der andere spitze Winkel betrachtet wurde
Gegenkathete und Ankathete hängen am betrachteten Winkel. Wechseln Sie von α zu β, tauschen beide Katheten ihre Namen. Schreiben Sie deshalb den Winkel, von dem aus Sie schauen, immer mit in die Skizze.
Die Wahl zwischen Sinus, Kosinus und Tangens folgt dem Seitenpaar
In fast jeder Trigonometrie-Aufgabe sind drei Größen beteiligt: ein Winkel und zwei Seiten. Zwei davon sind bekannt, die dritte wird gesucht. Ob Sie mit Sinus, Kosinus oder Tangens rechnen, entscheidet allein das Seitenpaar. Die Hypotenuse ist dabei der Schlüssel: Ist sie dabei, kommen nur Sinus oder Kosinus infrage. Fehlt sie, bleibt nur der Tangens.
Ein Vorgehen, das in der Schule und im Handwerk gleichermaßen funktioniert: Zeichnen Sie das Dreieck, markieren Sie den rechten Winkel und den betrachteten Winkel α. Schreiben Sie an jede Seite ihren Namen aus Sicht von α. Kreisen Sie dann die bekannte und die gesuchte Seite ein. Liegt die eingekreiste Kathete gegenüber von α und ist die Hypotenuse dabei, ist es der Sinus. Liegt sie an α an, ist es der Kosinus. Zwei Katheten ohne Hypotenuse bedeuten Tangens.
Typische Situationen aus dem Alltag lassen sich so schnell zuordnen. Eine Leiter lehnt an der Wand: Die Leiterlänge ist die Hypotenuse, für die erreichbare Höhe nehmen Sie den Sinus, für den Abstand des Fußes zur Wand den Kosinus. Bei einer Rampe, einem Dach oder einer Straße ist meist die waagerechte Länge und die Höhe bekannt, die schräge Strecke interessiert erst danach. Hier liefert der Tangens den Winkel direkt.
Beim Rückweg vom Seitenverhältnis zum Winkel gilt dieselbe Zuordnung, nur mit den Umkehrfunktionen arcsin, arccos und arctan. Ihr Taschenrechner muss dabei im Gradmaß stehen, sonst erscheint der Winkel im Bogenmaß. Im rechtwinkligen Dreieck liegen die spitzen Winkel immer zwischen 0 und 90 Grad, eine zweite Lösung spielt dort keine Rolle.
Zur Kontrolle hilft der Satz des Pythagoras. Haben Sie zwei Seiten über Sinus und Kosinus berechnet, muss die Summe ihrer Quadrate das Quadrat der Hypotenuse ergeben. Stimmt das nicht, ist meist eine Kathete vertauscht.