Wurzel ziehen: Quadratwurzel, Kubikwurzel und n-te Wurzel mit Rechenweg

Wurzel ziehen ist die Umkehrung des Potenzierens

Wer 5 zum Quadrat nimmt, erhält 25. Wer aus 25 die Wurzel zieht, kommt zur 5 zurück. Genau das ist der Kern jeder Wurzel: Sie beantwortet die Frage, welche Zahl man potenzieren muss, um den Radikanden zu erhalten. Geht die Rechnung glatt auf, ist das Ergebnis eine ganze Zahl. In allen anderen Fällen entsteht eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen ohne Periode, und dann helfen nur Vereinfachen, Näherungsverfahren oder ein exakter Rechner.

Quadratzahlen und Kubikzahlen von 1 bis 25 als Wurzeltabelle

Die Tabelle lässt sich in beide Richtungen lesen. Von links nach rechts zeigt sie Quadrat und Kubik, von rechts nach links die Wurzel: √361 = 19, ∛2.197 = 13.

Die Quadratzahlen bis 400 gehören in vielen Lehrplänen zum Grundwissen, weil sie beim Wurzelziehen ohne Rechner den Ausgangspunkt bilden.

Teilweises Wurzelziehen: √72 = 6√2

Geht eine Wurzel nicht auf, lässt sie sich oft trotzdem vereinfachen. Sie zerlegen den Radikanden in ein Produkt aus einer möglichst großen Quadratzahl und einem Rest. Aus der Quadratzahl ziehen Sie die Wurzel, der Rest bleibt unter dem Wurzelzeichen. Bei 72 ist das 36 · 2, also √72 = √36 · √2 = 6√2. Der Rechner findet den größten Faktor über die Primfaktorzerlegung: 50 = 2 · 5², also √50 = 5√2.

Bei Kubikwurzeln suchen Sie entsprechend einen Faktor, der dreimal vorkommt: ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2, ∛16 = 2∛2, ∛250 = 5∛2.

Wurzel ziehen mit dem Heron-Verfahren

Das Heron-Verfahren, auch babylonisches Wurzelziehen genannt, nähert sich der Quadratwurzel Schritt für Schritt. Sie starten mit einem Schätzwert x und bilden den Mittelwert aus x und a geteilt durch x. Ist x zu groß, ist a/x zu klein, und der Mittelwert liegt dazwischen. Der Rechner startet mit (a + 1) / 2. Für √2 ergibt das:

• Startwert: 1,5
• Schritt 1: (1,5 + 2 / 1,5) / 2 = 1,41666…
• Schritt 2: 1,4142156862…
• Schritt 3: 1,4142135623746…
• Schritt 4: 1,414213562373095

Die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich ungefähr mit jedem Schritt. Bei √50 braucht das Verfahren wegen des weit entfernten Startwerts 25,5 einige Schritte mehr, nach sieben Durchgängen steht 7,0710678118654755 da.

Die Wurzel aus 2 auf 15 Stellen genau

√2 = 1,414213562373095 ist die bekannteste irrationale Zahl. Sie ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 und taucht deshalb überall auf, wo rechte Winkel und gleiche Seiten zusammenkommen: beim Papierformat DIN A4, dessen Seiten im Verhältnis 1 zu √2 stehen, oder bei der Diagonale einer Fliese. Der Rechner bestimmt die Stellen mit ganzzahliger Arithmetik, sodass keine Rundungsfehler der Gleitkommazahl in die letzten Stellen geraten. Gleiches gilt für √3 = 1,732050807568877 und √10 = 3,162277660168379. Für Diagonalen in Rechtecken und Räumen gibt es den Diagonale-Rechner, für rechtwinklige Dreiecke den Satz des Pythagoras.

Kubikwurzel und n-te Wurzel berechnen

Die Kubikwurzel ist die dritte Wurzel. Sie gibt zum Beispiel die Kantenlänge eines Würfels aus seinem Volumen an: Ein Würfel mit 1.000 cm³ hat 10 cm Kantenlänge. Anders als bei Quadratwurzeln sind negative Radikanden erlaubt, ∛−27 ist −3.

Höhere Wurzeln funktionieren nach demselben Prinzip. Die vierte Wurzel aus 16 ist 2, die fünfte Wurzel aus 32 ebenfalls 2. Der Rechner akzeptiert Wurzelexponenten bis 100. Wer die Gleichung umgekehrt nach dem Exponenten auflösen will, braucht den Logarithmus.

Praxisbeispiel: Quadratwurzel aus 50

Ein quadratisches Beet soll 50 m² groß werden. Die Seitenlänge ist √50. Der Rechner zerlegt 50 = 2 · 5², vereinfacht zu 5√2 und liefert auf zehn Stellen 7,0710678119. Die Probe 7,0710678119² ergibt 50,0000000005, die Abweichung stammt allein aus der Rundung der letzten Stelle. Für die Praxis reichen 7,07 m Seitenlänge. Auch in der Mitternachtsformel steckt eine Quadratwurzel: Ihr Wert entscheidet, ob eine quadratische Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat.

Wurzel schätzen: Merkhilfe für die Plausibilitätsprüfung

Suchen Sie die beiden Quadratzahlen, zwischen denen der Radikand liegt. 50 liegt zwischen 49 und 64, also liegt √50 zwischen 7 und 8, und zwar sehr nah an 7. Eine bessere Schätzung liefert die Faustformel: Abstand zur unteren Quadratzahl geteilt durch den doppelten unteren Wurzelwert. Bei 50 ist das 1 / 14 ≈ 0,07, also ≈ 7,07. Weitere Plausibilitätsregeln: Die Wurzel einer Zahl größer als 1 ist kleiner als die Zahl, die Wurzel einer Zahl zwischen 0 und 1 ist größer. Hängen Sie an den Radikanden zwei Nullen an, verzehnfacht sich die Quadratwurzel: √2 ≈ 1,414 und √200 ≈ 14,14.

Typische Fehler beim Wurzelziehen

• Wurzel aus einer Summe aufgeteilt: √(9 + 16) ist √25 = 5, nicht √9 + √16 = 7. Nur bei Produkten darf man die Wurzel aufteilen.
• Nicht vollständig vereinfacht: √72 = 2√18 ist ein Zwischenschritt. Der größte Quadratfaktor ist 36, also 6√2.
• Negative Lösung vergessen: Die Gleichung x² = 25 hat zwei Lösungen, 5 und −5. Das Wurzelzeichen selbst meint aber nur den positiven Wert.
• Gerade Wurzel aus negativer Zahl: √−4 hat keine reelle Lösung. Der Rechner weist darauf hin, statt einen Wert zu erfinden.
• Gerundete Werte weiterverwendet: Wer 1,41 statt √2 quadriert, erhält 1,9881. Rechnen Sie mit der Wurzelform weiter und runden Sie erst am Ende.