Wurzel ziehen ohne Taschenrechner: Vereinfachen, Schätzen und Heron
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Ohne Taschenrechner ziehen Sie eine Wurzel in drei Schritten. Spalten Sie zuerst die größte Quadratzahl ab, aus √50 wird 5√2. Schätzen Sie dann zwischen den benachbarten Quadratzahlen, √50 liegt knapp über 7. Verfeinern Sie zuletzt mit dem Heron-Verfahren: Mittelwert aus Schätzung und Zahl geteilt durch Schätzung bilden.
√50 ≈
7,0710678119
Gerundet auf 10 Nachkommastellen
Vereinfacht (teilweise Wurzel gezogen)
5√2
exakte Form
Quadratwurzel
7,0710678119
Kubikwurzel
3,6840314986
Rechenweg
- √50 ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 50 ergibt.
- Primfaktorzerlegung: 50 = 2 · 5²
- Teilweise Wurzel ziehen: 50 = 5² · 2 = 25 · 2
- √50 = √25 · √2 = 5√2
- Dezimalwert: √50 ≈ 7,0710678119 (auf 10 Stellen gerundet)
- Probe: 7,0710678119² ≈ 50,0000000005
Heron-Verfahren: x neu = (x + 50 ÷ x) ÷ 2
| Schritt | Näherung |
|---|---|
| Start | 25,5 |
| 1 | 13,730392156863 |
| 2 | 8,685974371898 |
| 3 | 7,221190474331 |
| 4 | 7,072628275744 |
| 5 | 7,071067984011 |
| 6 | 7,071067811865 |
| 7 | 7,071067811865 |
Quadratzahlen und Kubikzahlen von 1 bis 25
| n | n² | n³ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 729 |
| 10 | 100 | 1.000 |
| 11 | 121 | 1.331 |
| 12 | 144 | 1.728 |
| 13 | 169 | 2.197 |
| 14 | 196 | 2.744 |
| 15 | 225 | 3.375 |
| 16 | 256 | 4.096 |
| 17 | 289 | 4.913 |
| 18 | 324 | 5.832 |
| 19 | 361 | 6.859 |
| 20 | 400 | 8.000 |
| 21 | 441 | 9.261 |
| 22 | 484 | 10.648 |
| 23 | 529 | 12.167 |
| 24 | 576 | 13.824 |
| 25 | 625 | 15.625 |
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Formel
Teilweises Wurzelziehen: Wurzel aus (a² mal b) ist a mal Wurzel aus b. Heron-Verfahren: neue Schätzung ist der Mittelwert aus alter Schätzung x und der Zahl geteilt durch x. Jeder Durchgang verdoppelt ungefähr die Zahl der richtigen Stellen.
√(a² · b) = a · √b; x(neu) = (x + z / x) / 2
- z
- Radikand, die Zahl unter der Wurzel
- a²
- größte Quadratzahl, die z ohne Rest teilt
- x
- aktuelle Schätzung der Quadratwurzel
Rechenbeispiel: Quadratwurzel aus 50
- 1
Radikand und Wurzelexponent festlegen
= 50 und 2
- 2
Primfaktorzerlegung: 50 = 2 · 5², die 5 kommt zweimal vor und darf vor die Wurzel, also √50 = √25 · √2 = 5√2
- 3
Schätzen zwischen den Quadratzahlen 49 und 64: Die Wurzel liegt knapp über 7, Heron mit Startwert 7 ergibt (7 + 50/7) / 2 ≈ 7,0714
- 4
Exakter Dezimalwert auf zehn Nachkommastellen
= 7,0710678119
- 5
Zum Vergleich die Kubikwurzel aus derselben Zahl
= 3,6840314986
Die Wurzel aus 50 ist 5√2 oder gerundet 7,0710678119. Schon ein einziger Heron-Schritt vom Startwert 7 trifft die ersten drei Nachkommastellen, für Handwerk und Haushalt reicht das in fast allen Fällen.
Typische Fehler
errorEinen zu kleinen Quadratfaktor abgespalten
Aus √72 wird mit dem Faktor 4 zunächst 2√18. Das ist richtig, aber nicht fertig, weil in 18 noch die 9 steckt. Suchen Sie immer die größte Quadratzahl, hier 36, dann steht sofort 6√2 da.
errorBeim Heron-Verfahren mit einer schlechten Startzahl gerechnet
Je weiter die Startzahl daneben liegt, desto mehr Durchgänge brauchen Sie. Starten Sie mit der Wurzel der nächstgelegenen Quadratzahl. Für √50 ist 7 viel besser als 25, denn von 7 aus genügt ein einziger Schritt.
errorDie Wurzel aus einer Summe gliedweise gezogen
Vereinfachen dürfen Sie nur Produkte unter der Wurzel. Die Wurzel aus 16 plus 9 ist die Wurzel aus 25, also 5, und nicht 4 plus 3. Rechnen Sie Summen deshalb immer zuerst zusammen.
Warum das Heron-Verfahren so schnell ans Ziel kommt
Das Verfahren stammt aus der Antike und beruht auf einer einfachen Beobachtung. Ist eine Schätzung x zu groß, dann ist 50 geteilt durch x zu klein, denn das Produkt beider Zahlen ergibt immer genau 50. Die richtige Wurzel liegt also zwischen den beiden Werten, und der Mittelwert ist eine bessere Schätzung als jeder einzelne. Mathematisch ist das ein Spezialfall des Newton-Verfahrens. Es hat die angenehme Eigenschaft, dass sich die Zahl der richtigen Nachkommastellen mit jedem Durchgang ungefähr verdoppelt. Vom Startwert 7 aus liefert der erste Schritt 7,0714, der zweite stimmt bereits auf sieben Nachkommastellen mit dem exakten Wert überein.
Der Rechner startet bewusst mit einem einfachen, aber groben Startwert, nämlich der Hälfte von Zahl plus eins. Für 50 sind das 25,5, und es braucht einige Durchgänge mehr, bis das Ergebnis steht. Am Verlauf sehen Sie gut, wie die Schätzung zuerst große Sprünge macht und sich dann rasch dem Ziel nähert. Wer von Hand rechnet, spart sich diese Umwege mit einem besseren Start aus der Tabelle der Quadratzahlen.
Wann die vereinfachte Wurzelform besser ist als der Dezimalwert
In Schulaufgaben, Formeln und Konstruktionen ist 5√2 oft wertvoller als 7,0711. Die Wurzelform ist exakt, der Dezimalwert immer gerundet. Rechnen Sie mit der Wurzelform weiter, heben sich Wurzeln häufig wieder auf: 5√2 mal √2 ergibt genau 10, während 7,0711 mal 1,4142 nur ungefähr 10 liefert. Erst am Ende, wenn Sie eine Länge abmessen oder einen Preis berechnen, lohnt sich der Dezimalwert. Auch beim Lösen quadratischer Gleichungen bleibt die Lösung mit Wurzel übersichtlicher als eine lange Kommazahl.
Umgekehrt gibt es Situationen, in denen nur der Dezimalwert hilft. Soll ein quadratisches Beet 50 Quadratmeter groß werden, brauchen Sie eine Seitenlänge zum Abmessen, und 7,07 Meter sind dafür genau genug. Bei Fliesen, Holzzuschnitten oder Rohrlängen entscheidet die Messgenauigkeit des Werkzeugs, wie viele Stellen sinnvoll sind. Mehr als zwei Nachkommastellen in Metern, also Zentimeter, lassen sich auf der Baustelle ohnehin kaum umsetzen.