Binär in Dezimal umrechnen und zurück: Zahlensystem-Umrechner mit Rechenweg

Binär in Dezimal heißt Stellenwerte addieren, Dezimal in Binär heißt durch 2 teilen

Jedes Zahlensystem funktioniert nach demselben Prinzip: Eine Ziffer zählt umso mehr, je weiter links sie steht. Im Dezimalsystem ist jede Stelle zehnmal so viel wert wie die rechts daneben, im Binärsystem nur doppelt so viel, im Hexadezimalsystem sechzehnmal so viel. Wer dieses Prinzip einmal verstanden hat, kann zwischen allen Systemen wechseln. Zwei Verfahren reichen dafür: die Stellenwert-Summe für den Weg ins Dezimalsystem und das Divisionsrestverfahren für den Weg hinaus.

Binär, Oktal, Dezimal und Hex: Tabelle von 0 bis 16

Die ersten Zahlen in allen vier gängigen Systemen lohnen sich als Nachschlagetabelle. Achten Sie auf die 8 und die 16: Dort springt das Oktal- beziehungsweise das Hexadezimalsystem auf eine neue Stelle.

Binärzahlen umrechnen mit der Stellenwert-Summe

Für den Weg von Binär in Dezimal schreiben Sie die Zweierpotenzen von rechts nach links über die Ziffern: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Dann addieren Sie die Potenzen, unter denen eine 1 steht. Bei 101101 sieht der Rechenweg so aus:

1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45

Dasselbe gilt für jede andere Basis. Eine Hex-Zahl wie 2A rechnen Sie als 2·16¹ + 10·16⁰ = 42, eine Oktalzahl wie 755 als 7·64 + 5·8 + 5 = 493. Der Rechner schreibt diese Summe für jede Eingabe aus, bei sehr langen Zahlen gekürzt auf die ersten und letzten Glieder.

Dezimal in Binär mit dem Divisionsrestverfahren

Die Gegenrichtung erledigt das Divisionsrestverfahren. Sie teilen die Dezimalzahl ganzzahlig durch die Zielbasis, notieren den Rest und teilen den Quotienten weiter, bis 0 herauskommt. Für 45 in Binär:

• 45 : 2 = 22 Rest 1
• 22 : 2 = 11 Rest 0
• 11 : 2 = 5 Rest 1
• 5 : 2 = 2 Rest 1
• 2 : 2 = 1 Rest 0
• 1 : 2 = 0 Rest 1

Von unten nach oben gelesen ergibt das 101101. Der erste Rest ist die letzte Ziffer, weil er angibt, ob die Zahl gerade oder ungerade ist. Mit der Basis 16 funktioniert es genauso: 200 : 16 = 12 Rest 8, dann 12 : 16 = 0 Rest 12. Die 12 wird zur Ziffer C, das Ergebnis lautet C8. Als Probe rechnet der Rechner die Stellenwert-Summe zurück: 12·16 + 8 = 200.

Hexadezimal umrechnen: warum vier Bit eine Hex-Ziffer sind

16 ist 2⁴. Deshalb entspricht jede Hex-Ziffer genau einer Gruppe von vier Binärziffern, und die Umrechnung zwischen Binär und Hex braucht keinen Umweg über das Dezimalsystem. Sie teilen die Binärzahl von rechts in Vierergruppen und ersetzen jede Gruppe anhand der Tabelle oben. Aus 1100 1000 wird C8, aus 1111 1111 wird FF. Beim Oktalsystem funktioniert dasselbe mit Dreiergruppen, weil 8 = 2³ ist.

Die Zahl 255 taucht in der Technik ständig auf, weil sie der größte Wert eines Bytes ist: acht Einsen, zwei F, oktal 377.

Hex-Farbcodes und IP-Adressen im Zahlensystem

Am häufigsten begegnet Ihnen das Hexadezimalsystem in Farbangaben für Webseiten und Grafikprogramme. Ein Farbcode wie #2E8B57 besteht aus drei Bytes für Rot, Grün und Blau. 2E ist 46, 8B ist 139, 57 ist 87. Der Code #FF8000 steht für Rot 255, Grün 128 und Blau 0, also ein kräftiges Orange.

IP-Adressen der Version 4 sind vier Bytes, die in Dezimal geschrieben werden. Die Heimnetz-Adresse 192.168.0.1 lautet binär 1100 0000, 1010 1000, 0000 0000 und 0000 0001, hexadezimal C0 A8 00 01. Die Subnetzmaske 255.255.255.0 besteht aus 24 Einsen gefolgt von acht Nullen. Daran sehen Sie direkt, dass die ersten drei Bytes das Netz bestimmen.

Auch Zeichen werden als Bytes gespeichert. Der Buchstabe A hat in UTF-8 den Wert 65, hexadezimal 41. Ein Umlaut wie ä belegt zwei Bytes, C3 A4. Der Rechner hat dafür einen Textmodus, der jedes Zeichen in Dezimal, Hex und Binär zerlegt.

Zweierkomplement: negative Zahlen im Binärsystem

Prozessoren speichern Zahlen mit fester Bitbreite und kennen kein Minuszeichen. Negative Werte werden deshalb im Zweierkomplement abgelegt: Betrag binär schreiben, alle Bits umdrehen, 1 addieren. In 8 Bit wird −1 zu 1111 1111 (FF), −5 zu 1111 1011 (FB) und −42 zu 1101 0110 (D6). Mit 8 Bit lassen sich so Werte von −128 bis 127 darstellen, ohne Vorzeichen 0 bis 255. Dasselbe Bitmuster bedeutet also je nach Lesart etwas anderes: 1111 1011 ist vorzeichenbehaftet −5, vorzeichenlos 251. Der Rechner zeigt beide Lesarten und meldet, wenn eine Zahl nicht in die gewählte Bitbreite passt.

Praxisbeispiel: Dateirechte 755 im Oktalsystem

Unter Linux werden Dateirechte als Oktalzahl angegeben. Der Wert 755 bedeutet dezimal 493 und binär 1 1110 1101. Lesen Sie die Binärzahl in Dreiergruppen, also 111, 101 und 101, erkennen Sie die drei Rechteblöcke für Besitzer, Gruppe und alle anderen: Lesen, Schreiben und Ausführen für den Besitzer, Lesen und Ausführen für die übrigen. Die übliche Einstellung 644 ist dezimal 420, binär 110 100 100: Der Besitzer darf lesen und schreiben, alle anderen nur lesen.

Für ein zweites Beispiel aus der Elektronik bietet sich der Widerstand-Farbcode-Rechner an, der ebenfalls Ziffern über Stellenwerte zu einem Wert zusammensetzt. Wer historische Zahlschriften vergleichen möchte, findet im Römische-Zahlen-Umrechner ein System ganz ohne Stellenwert.

Merkhilfe für Zahlensysteme: Zweierpotenzen kennen

Wer die Zweierpotenzen bis 1.024 im Kopf hat, rechnet kleine Binärzahlen ohne Hilfsmittel: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024. Zur Plausibilitätsprüfung hilft eine Faustregel: Eine Binärzahl ist etwa dreimal so lang wie die Dezimalzahl, genauer 3,3 Binärstellen je Dezimalstelle. 1.000 hat zehn Binärstellen, eine 32-Bit-Zahl reicht bis 4.294.967.295, hexadezimal FFFFFFFF. Endet eine Binärzahl auf 0, ist die Zahl gerade. Eine Hex-Zahl mit n Stellen hat genau 4n Bit.

Typische Fehler beim Umrechnen von Zahlensystemen

• Reste falsch herum gelesen: Das Divisionsrestverfahren liefert die Ziffern von hinten nach vorn. Aus 200 wird 1100 1000, nicht 0001 0011.
• Stellenwert bei 1 statt 0 begonnen: Die rechte Stelle hat den Wert 2⁰ = 1, nicht 2. Wer bei 2 beginnt, erhält das Doppelte.
• Hex-Buchstaben als Ziffern übersehen: In Hex ist 1A nicht 1 und 1, sondern 16 + 10 = 26.
• Ungültige Ziffern: Eine 2 gibt es im Binärsystem nicht, eine 8 nicht im Oktalsystem. Der Rechner nennt die erlaubten Ziffern je Basis.
• Führende Nullen falsch gedeutet: 0000 0101 ist dieselbe Zahl wie 101. Nur beim Zweierkomplement zählt die volle Bitbreite.
• Bitbreite vergessen: −1 ist in 8 Bit FF, in 16 Bit FFFF. Ohne Angabe der Breite ist ein Zweierkomplement nicht eindeutig.

Für schnelle Kontrollrechnungen mit großen Zahlen ist die Quersumme ein brauchbarer Zusatzcheck im Dezimalsystem, für die Zerlegung in Zweierfaktoren hilft die Primfaktorzerlegung.