Binärzahl in Dezimalzahl umrechnen und zurück: Schritt für Schritt
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Eine Dezimalzahl wird binär, indem Sie sie fortlaufend durch 2 teilen und die Reste von unten nach oben lesen. Zurück ins Dezimalsystem kommen Sie, indem Sie jede Binärziffer mit ihrer Zweierpotenz multiplizieren und addieren. Beide Wege sind Probe füreinander: 255 ergibt 1111 1111, und 1111 1111 ergibt wieder 255.
Ergebnis in Binär (2)
1111 1111
Binär
1111 1111
8 Bit
Dezimal
255
Oktal
377
Hexadezimal
FF
Zweierkomplement
- Bitmuster
- 1111 1111
- Hex
- FF
- Mit Vorzeichen gelesen
- -1
- Ohne Vorzeichen gelesen
- 255
Rechenweg
- Divisionsrestverfahren (10 → Basis 2), Reste von unten nach oben lesen:
- 255 : 2 = 127 Rest 1
- 127 : 2 = 63 Rest 1
- 63 : 2 = 31 Rest 1
- 31 : 2 = 15 Rest 1
- 15 : 2 = 7 Rest 1
- 7 : 2 = 3 Rest 1
- 3 : 2 = 1 Rest 1
- 1 : 2 = 0 Rest 1
- Ergebnis: 11111111 (Basis 2)
- Probe mit Stellenwerten: 1·2^7 + 1·2^6 + 1·2^5 + 1·2^4 + 1·2^3 + 1·2^2 + 1·2^1 + 1·2^0 = 255
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Formel
Dezimal in Binär: Zahl durch 2 teilen, Rest notieren, mit dem Quotienten weitermachen, bis 0 übrig ist; die Reste rückwärts gelesen sind die Binärzahl. Binär in Dezimal: Summe aller Ziffern mal 2 hoch Stellenposition, rechts beginnend mit Position 0.
Dezimalwert = d(n−1) · 2^(n−1) + … + d1 · 2^1 + d0 · 2^0
- d0, d1, …
- Binärziffern von rechts nach links, jeweils 0 oder 1
- n
- Anzahl der Binärstellen
Rechenbeispiel: die Dezimalzahl 255 im Binärsystem
- 1
Ausgangszahl im Dezimalsystem und Zielbasis festlegen
= 255, Basis 2
- 2
Divisionsrestverfahren: 255 : 2 = 127 Rest 1, 127 : 2 = 63 Rest 1, 63 : 2 = 31 Rest 1, 31 : 2 = 15 Rest 1, 15 : 2 = 7 Rest 1, 7 : 2 = 3 Rest 1, 3 : 2 = 1 Rest 1, 1 : 2 = 0 Rest 1
= 8 Reste, alle gleich eins
- 3
Reste von unten nach oben lesen und in Vierergruppen schreiben: 1111 1111
= 8 Bit
- 4
Probe mit Stellenwerten: 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
= 255
- 5
Im Zweierkomplement mit 8 Bit gelesen bedeutet dasselbe Bitmuster minus eins, vorzeichenlos gelesen bleibt es 255. Hexadezimal lautet es FF, oktal 377.
255 ist die größte Zahl, die in ein Byte passt: acht Einsen, hexadezimal FF. Die Probe über die Stellenwerte führt genau auf 255 zurück und bestätigt das Ergebnis des Divisionsrestverfahrens.
Typische Fehler
errorDie Reste in der Reihenfolge der Rechnung notiert
Der erste Rest gehört an die letzte Stelle, weil er nur angibt, ob die Zahl gerade oder ungerade ist. Lesen Sie die Reste deshalb immer von unten nach oben, sonst entsteht die gespiegelte Zahl.
errorDie Stellenwerte bei 2 statt bei 1 begonnen
Die rechte Binärstelle hat den Wert 2 hoch 0, also 1. Wer mit 2 anfängt, verdoppelt jeden Wert und erhält zum Beispiel für 1111 1111 die Zahl 510 statt 255.
errorVorzeichenbehaftete und vorzeichenlose Lesart vermischt
Ein Bitmuster mit führender 1 kann eine große positive Zahl oder eine negative Zahl im Zweierkomplement sein. Klären Sie vorher, ob die Daten mit oder ohne Vorzeichen gespeichert sind, und welche Bitbreite gilt.
Warum das Divisionsrestverfahren die Ziffern rückwärts liefert
Jede Division durch 2 stellt eine einfache Frage: Ist die Zahl gerade oder ungerade? Der Rest beantwortet sie mit 0 oder 1, und genau diese Antwort ist die letzte Binärziffer. Teilen Sie den Quotienten weiter, fragen Sie nach der vorletzten Stelle, also danach, ob die Zahl ohne die letzte Ziffer gerade ist. So arbeitet sich das Verfahren von der kleinsten Stelle zur größten vor. Deshalb steht am Ende der Rechnung die vorderste Ziffer, und deshalb wird von unten nach oben gelesen. Bei 255 fällt das nicht auf, weil alle Reste 1 sind. Bei 200 ergeben die Reste von oben gelesen 0001 0011, richtig ist 1100 1000.
Die Stellenwert-Summe ist die Umkehrung und zugleich die beste Probe. Sie zerlegt die Zahl in Zweierpotenzen: 255 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1. Wer die Zweierpotenzen bis 1.024 kennt, kann kleine Zahlen auch ohne Division umrechnen. Sie ziehen die größte passende Potenz ab, schreiben eine 1 an deren Stelle und wiederholen das mit dem Rest. Für 200 heißt das: 128 passt, Rest 72; 64 passt, Rest 8; 32 und 16 passen nicht; 8 passt, Rest 0. Ergebnis 1100 1000.
Wo Ihnen Binärzahlen im Alltag begegnen
Speichergrößen, Farbwerte und Netzwerkadressen beruhen auf dem Zweiersystem. Ein Byte hat acht Bit und damit Werte von 0 bis 255. Deshalb reichen die Farbkanäle in Grafikprogrammen von 0 bis 255 und die Zahlenblöcke einer IPv4-Adresse ebenfalls. Eine Subnetzmaske wie 255.255.255.0 heißt binär 24 Einsen und 8 Nullen. Wer das Muster sieht, versteht sofort, welcher Teil der Adresse das Netz und welcher das Gerät beschreibt. Auch Dateirechte unter Linux und Zeichencodes in Textdateien lassen sich mit denselben zwei Verfahren entschlüsseln.
Wer häufiger mit solchen Werten arbeitet, gewöhnt sich am besten die Vierergruppen an. Eine lange Binärzahl ist ungegliedert kaum lesbar, in Vierergruppen dagegen lässt sie sich direkt in Hex übertragen und mit wenigen Zweierpotenzen prüfen. Viele Programmiersprachen erlauben deshalb Unterstriche als Trennzeichen, etwa 0b1111_1111. Der Rechner versteht diese Schreibweise ebenfalls und ignoriert Leerzeichen und Unterstriche. Die Präfixe 0b, 0o und 0x akzeptiert er, wenn die passende Quellbasis gewählt ist.