Wie viele Kombinationen gibt es bei Zufallszahlen ohne Wiederholung?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Ziehen Sie k Zahlen ohne Wiederholung aus n möglichen Zahlen und spielt die Reihenfolge keine Rolle, ergibt sich die Zahl der Kombinationen aus dem Binomialkoeffizienten n über k. Bei 6 Zahlen aus dem Bereich 1 bis 49 sind das 13.983.816 Möglichkeiten. Jede einzelne Kombination hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden.
Die Zahlen stammen aus dem kryptografischen Zufallsgenerator des Browsers (crypto.getRandomValues) und werden nicht gespeichert.
Derzeit ohne Vermittlung oder Angebotsstrecke
Diese Seite dient aktuell nur der Orientierung. rechnerportal.net vermittelt derzeit keine Anbieter und gibt keine individuelle Empfehlung ab.
Mehr Infos baldDirekt zum Tool: Zufallszahlen-Generator öffnen
Formel
Die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung ist n Fakultät geteilt durch das Produkt aus k Fakultät und (n minus k) Fakultät. Mit Wiederholung und mit Reihenfolge sind es dagegen n hoch k mögliche Folgen.
C(n, k) = n! / (k! · (n - k)!)
- n
- Anzahl der möglichen Zahlen im Bereich, also Obergrenze minus Untergrenze plus eins
- k
- Anzahl der gezogenen Zahlen
- !
- Fakultät, das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis zur jeweiligen Zahl
Rechenbeispiel: 6 Zahlen ohne Wiederholung aus 1 bis 49
- 1
Untergrenze des Bereichs festlegen
= 1
- 2
Obergrenze des Bereichs festlegen
= 49
- 3
Größe des Bereichs bestimmen: 49 minus 1 plus 1
= 49 mögliche Zahlen
- 4
Anzahl der Zahlen wählen, die ohne Zurücklegen gezogen werden
= 6
- 5
Binomialkoeffizient C(49, 6) ausrechnen: 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 geteilt durch 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
= 13.983.816 Kombinationen
Aus dem Bereich 1 bis 49 lassen sich 6 verschiedene Zahlen auf 13.983.816 Arten auswählen. Welche konkreten Zahlen der Generator liefert, ist bei jedem Klick anders, die Zahl der Möglichkeiten bleibt gleich.
Typische Fehler
errorReihenfolge mitgezählt, obwohl sie keine Rolle spielt
Zählen Sie die Reihenfolge mit, entstehen bei 6 aus 49 über 10 Milliarden Folgen statt knapp 14 Millionen Kombinationen. Für Verlosungen und Lotto ist nur die Auswahl entscheidend, für Startreihenfolgen oder Platzierungen dagegen die Folge.
errorBereich um eins zu klein berechnet
Beide Grenzen gehören dazu. Der Bereich 1 bis 49 enthält 49 Zahlen, der Bereich 0 bis 9 enthält 10. Wer nur Obergrenze minus Untergrenze rechnet, unterschätzt die Möglichkeiten und bekommt falsche Wahrscheinlichkeiten.
errorGlauben, lange nicht gezogene Zahlen seien bald fällig
Ein Zufallsgenerator hat kein Gedächtnis. Jede neue Ziehung beginnt unabhängig von allen vorherigen, deshalb hat eine Zahl, die zehnmal nicht kam, beim nächsten Mal exakt dieselbe Chance wie jede andere Zahl.
Warum ein Computer nur scheinbar würfelt
Ein Rechner arbeitet deterministisch: Aus derselben Eingabe entsteht immer dieselbe Ausgabe. Zufallszahlen entstehen deshalb über einen Trick. Ein Algorithmus startet mit einem Startwert, dem sogenannten Seed, und erzeugt daraus eine lange Folge, die statistisch wie Zufall aussieht. Einfache Verfahren wiederholen sich irgendwann oder zeigen Muster, wenn man genau hinsieht. Browser bieten deshalb eine kryptografische Zufallsquelle, die ihren Startwert aus schwer vorhersagbaren Ereignissen im System gewinnt, etwa aus Zeitstempeln und Hardwarerauschen.
Für Verlosungen, Spiele und Stichproben reicht diese Qualität vollständig aus. Wichtig ist eine zweite Eigenschaft: die Gleichverteilung. Jede Zahl im Bereich muss dieselbe Chance haben. Ein häufiger Programmierfehler ist das Abschneiden mit dem Rest einer Division, wodurch kleine Zahlen minimal bevorzugt werden. Seriöse Generatoren skalieren den Zufallswert deshalb sauber auf den gewünschten Bereich.
Ob ein Generator fair arbeitet, lässt sich grob selbst prüfen. Ziehen Sie mit Zurücklegen einige tausend Zahlen aus einem kleinen Bereich, etwa 1 bis 6, und zählen Sie die Häufigkeiten. Jede Zahl sollte ungefähr gleich oft vorkommen. Kleine Schwankungen sind normal und gerade ein Zeichen für echten Zufall.
Kombinationen, Folgen und die richtige Frage
Bevor Sie Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, lohnt die Frage, was eigentlich gezählt werden soll. Vier Fälle sind zu unterscheiden. Mit Wiederholung und mit Reihenfolge, etwa bei einer vierstelligen Geheimzahl, gibt es die Bereichsgröße hoch der Anzahl. Ohne Wiederholung, aber mit Reihenfolge, etwa bei den ersten drei Plätzen eines Rennens, multiplizieren Sie absteigend: bei zehn Teilnehmern 10 mal 9 mal 8. Ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge, wie bei Lotto oder einer Gewinnerauswahl, teilen Sie dieses Produkt zusätzlich durch die Fakultät der Anzahl. Der vierte Fall, mit Wiederholung, aber ohne Reihenfolge, taucht etwa bei Würfelsummen auf und folgt einer eigenen Formel.
Für eine Verlosung unter 200 Personen mit 3 Gewinnern ergeben sich so 1.313.400 mögliche Gewinnergruppen. Die Chance einer bestimmten Person, dabei zu sein, beträgt dagegen einfach 3 von 200, also 1,5 Prozent. Beide Zahlen beantworten unterschiedliche Fragen, und genau hier entstehen die meisten Missverständnisse.